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Résoudre un système linéaire en utilisant une équation matricielle

Il est possible de résoudre facilement un système en l'écrivant sous forme matricielle. Il faut pour cela connaître la matrice inverse de la matrice formée par les coefficients des inconnues.

Sachant que \(\displaystyle{\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}}\) est la matrice inverse de \(\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr\cr 2 & -1 \end{pmatrix}}\), résoudre le système suivant :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=1-y \cr \cr 2x-y-2=0 \end{cases}}\)

Etape 1

Réduire la forme du système

On place toutes les inconnues dans les membres de gauche, dans le même ordre sur chaque ligne, et les constantes à droite.

On place les inconnues à gauche et les constantes à droite, en positionnant les x avant les y. Pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=1-y \cr \cr 2x-y-2=0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow\begin{cases} x+y=1 \cr \cr 2x-y=2 \end{cases}}\)

Etape 2

Identifier les coefficients des inconnues

On met en évidence les coefficients des inconnues, qui vont constituer une matrice A.

Il faut réduire au maximum la forme du système avant de passer à la forme matricielle.

On met les coefficients des inconnues en évidence :

\(\displaystyle{\begin{cases} \color{Blue}{1}x+\color{Blue}{1}y=1 \cr \cr \color{Blue}{2}x-\color{Blue}{1}y=2 \end{cases}}\)

Etape 3

Traduire le système sous forme matricielle

On peut alors traduire le système sous forme matricielle, à l'aide de la matrice A.

Le système peut alors s'écrire :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr\cr 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\)

Etape 4

Multiplier les deux membres de l'égalité par la matrice inverse

On multiplie du côté gauche les deux membres de l'égalité par la matrice inverse \(\displaystyle{A^{-1}}\).

On multiplie les deux membres par la matrice inverse :

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & 1 \cr\cr 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\)

Sachant que le produit d'une matrice par sa matrice inverse donne la matrice identité, on obtient :

\(\displaystyle{I_2\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} \cr\cr \dfrac{2}{3} & -\dfrac{1}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \cr\cr 2 \end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3}\times 1 + \dfrac{1}{3} \times 2\cr\cr \dfrac{2}{3} \times 1 -\dfrac{1}{3}\times 2 \end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{\begin{pmatrix} x \cr\cr y \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \cr\cr 0\end{pmatrix}}\)

Etape 5

Déduire les valeurs des inconnues

La matrice colonne inconnue est alors égale à une matrice colonne de réels, qui sont les solutions du système.

Sachant que les deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux, on en déduit que \(\displaystyle{x=1}\) et \(\displaystyle{y=0}\).

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