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Donner un encadrement ou une valeur approchée de la solution d'une équation du type f(x)=k

Méthode 1

A l'aide de la calculatrice

Après avoir prouvé que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)= k}\) admet une unique solution sur un intervalle \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) à l'aide du corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, on peut déterminer un encadrement ou une approximation de la solution de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)= k}\) à l'aide de la calculatrice.

On considère la fonction f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^3+3x^2+2}\).

On admet que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) admet une unique solution \(\displaystyle{\alpha}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Déterminer un encadrement à 10−2 de \(\displaystyle{\alpha}\).

Etape 1

Afficher la fonction avec le pas donné

Sur la calculatrice, on entre la fonction et on affiche un tableau avec le pas donné.

Si l'on ne connaît pas approximativement la valeur de \(\displaystyle{\alpha}\) il peut être fastidieux d'identifier k dans une table avec un pas trop petit.

On procède alors en plusieurs étapes.

Dans un premier temps, on trace la courbe représentative de la fonction afin de déterminer approximativement la valeur de \(\displaystyle{\alpha }\).

On peut ensuite créer une première table avec un pas de 10−1 (voire même 1), identifier dans quel intervalle se situe k, puis créer une seconde table centrée sur k et avec le pas demandé (souvent 10−2).

Sur la calculatrice, on entre la fonction \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^3+3x^2+2}\).

On dresse d'abord la courbe de la fonction f sur la calculatrice, puis en zoomant on repère que la courbe croise l'axe des abscisses entre \(\displaystyle{x= -3,3}\) et \(\displaystyle{x=-3,1}\).

On affiche ensuite donc une table des valeurs de f comprises entre \(\displaystyle{x= -3,3}\) et \(\displaystyle{x=-3,1}\) avec un pas de \(\displaystyle{p=0,1}\).

Etape 2

Identifier k

On identifie entre quelles valeurs a et b de la table l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)=k}\) admet une solution.

Grâce à la table, on remarque que

  • \(\displaystyle{g\left(-3,20\right)=-0,048}\)
  • \(\displaystyle{g\left(-3,19\right)=0,066541}\)

On en déduit que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 0}\) possède une solution comprise entre \(\displaystyle{x=-3,20}\) et \(\displaystyle{x=-3,19}\).

Etape 3

Conclure

On conclut que \(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b}\).

On peut aussi donner une valeur approchée de \(\displaystyle{\alpha}\).

On en conclut que :

\(\displaystyle{-3,20 \lt \alpha \lt -3,19}\)

Méthode 2

Si l'encadrement est donné dans l'énoncé et à justifier

Afin de justifier l'encadrement \(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b}\) de la solution \(\displaystyle{\alpha}\) de l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right)= k}\), on calcule \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\).

On considère la fonction f, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^5+2x^3-x^2+4}\).

On admet que l'équation \(\displaystyle{f\left(x\right) = 1}\) admet une unique solution \(\displaystyle{\alpha}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) telle que \(\displaystyle{-0,92 \lt \alpha \lt -0,91}\) et que f est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^-}\).

Justifier l'encadrement de \(\displaystyle{\alpha}\).

Etape 1

Calculer les deux images

On calcule \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f\left(b\right)}\).

\(\displaystyle{f\left(-0,92\right) \approx 0,937}\) et \(\displaystyle{f\left(-0,91\right) \approx 1,041}\)

Etape 2

Rappeler que \(\displaystyle{f\left(\alpha\right)=k}\)

On rappelle que, d'après l'énoncé, \(\displaystyle{f\left(\alpha\right)=k}\).

On rappelle que, d'après l'énoncé, \(\displaystyle{f\left(\alpha\right)=1}\).

Etape 3

Rappeler la continuité et la monotonie de f

On rappelle la monotonie de f.

Deux cas sont possibles :

  • si f est croissante alors \(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b \Leftrightarrow f\left(a\right) \lt f\left(\alpha\right) \lt f\left(b\right)}\)
  • si f est décroissante alors \(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b \Leftrightarrow f\left(a\right) \gt f\left(\alpha\right) \gt f\left(b\right)}\)

On rappelle également la continuité de f.

On rappelle que f est continue (comme restriction d'une fonction polynôme) et strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^-}\).

On en déduit que :

\(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b \Leftrightarrow f\left(a\right) \lt f\left(\alpha\right) \lt f\left(b\right)}\)

Etape 4

Conclure

On en conclut qu'on a bien :

\(\displaystyle{a \lt \alpha \lt b}\)

On a :

\(\displaystyle{ f\left(-0,92\right) \lt f\left(\alpha\right) \lt f\left(-0,91\right)}\), avec \(\displaystyle{f\left(\alpha\right) = k}\)

On en déduit qu'on a bien :

\(\displaystyle{-0,92 \lt \alpha \lt -0,91}\)

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