Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle

Méthode 1

Si l'inéquation est du type eu(x)ev(x)

En présence d'une inéquation du type eu(x)ev(x), on peut faire disparaître les exponentielles pour résoudre.

Résoudre dans l'inéquation :

e2x3e3x

Etape 1

Faire disparaître les exponentielles

On sait que :

eu(x)ev(x)u(x)v(x)

Pour tout réel x :

e2x3e3x2x33x

Etape 2

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout ensuite l'inéquation obtenue.

Or, pour tout réel x :

2x33xx3

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'inéquation eu(x)ev(x).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S=[3;+[

Méthode 2

Si l'inéquation est du type eu(x)k

Afin de résoudre une inéquation du type eu(x)k (avec k>0 ), on utilise la fonction logarithme.

Résoudre dans l'inéquation :

e2x+7<2

Etape 1

Vérifier le signe de k

On sait qu'une exponentielle est toujours strictement positive. Ainsi, plusieurs cas se présentent :

  • L'inéquation eu(x)k est vérifiée sur l'ensemble de définition de u si k0.
  • L'inéquation eu(x)k n'admet pas de solution sur si k0.

En revanche, si k>0, l'inéquation peut admettre des solutions.

2>0, donc l'inéquation peut admettre des solutions.

Etape 2

Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle

Lorsque k>0, on a :

eu(x)ku(x)ln(k)

Ici, on a, pour tout réel x :

e2x+7<22x+7<ln2

Etape 3

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout l'inéquation obtenue.

Pour tout réel x :

2x+7<ln2

2x<ln27

x<ln272

Etape 4

Conclure

On conclut sur les solutions de l'inéquation eu(x)k.

Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S=];ln272[

Méthode 3

Si l'inéquation est du type ae2u(x)+beu(x)+c>0

Afin de résoudre une inéquation du type ae2u(x)+beu(x)+c>0, on introduit le changement de variable X=eu(x) afin de se ramener à une inéquation du second degré.

Résoudre dans l'inéquation :

e2x4ex+3<0

Etape 1

Poser X=eu(x)

On pose la nouvelle variable X=eu(x).

On pose X=ex.

Etape 2

Ecrire l'inéquation obtenue

Une fois le changement de variable effectué, l'inéquation ae2u(x)+beu(x)+c>0 devient aX2+bX+c>0.

On a, pour tout réel x :

e2x4ex+3<0(ex)24ex+3<0

Ainsi, l'inéquation devient :

X24X+3<0

Etape 3

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout l'inéquation du second degré obtenue.

On reconnaît la forme d'un trinôme du second degré. On sait donc que l'expression est du signe de a (strictement positif) sauf entre ses racines. On détermine le discriminant :

Δ=b24ac

Δ=(4)24×1×3

Δ=4

Δ>0, donc l'équation X2+2X3=0 admet deux solutions :

  • X1=bΔ2a=442×1=1
  • X2=b+Δ2a=4+42×1=3

On en déduit que le trinôme X24X+3 est strictement négatif sur ]1;3[.

Etape 4

Donner les solutions de la première inéquation

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x=ln(X).

On prend l'image par le logarithme népérien de chaque intersection d'un intervalle solution de la nouvelle inéquation avec l'intervalle ]0;+[.

Tous les réels de l'intervalle solution de la nouvelle inéquation sont positifs. La fonction ln étant strictement croissante sur ]0;+[ :

ln(]1;3[)=]ln(1);ln(3)[=]0;ln3[

L'ensemble des solutions de l'inéquation de départ est donc :

S=]0;ln3[

Méthode 4

En cas d'inéquation produit ou quotient

Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe du produit ou du quotient. Pour cela, on dresse un tableau de signes, sachant que dans ce cas, les expressions intermédiaires comportent des exponentielles.

Résoudre dans l'inéquation suivante :

e3x13ex1>0

Etape 1

Déterminer le produit / quotient dont on doit étudier le signe

On se ramène à une inéquation du type :

  • A×B>0 ou A×B<0
  • AB>0 ou AB<0

En cas de quotient, on détermine au préalable le ou les valeur(s) interdite(s).

On commence par déterminer les valeurs interdites de l'inéquation. Le dénominateur ne peut pas s'annuler. Pour tout réel x :

ex1=0

ex=1

x=0

Donc l'inéquation n'est pas définie en x=0.

Tous les termes sont du même côté de l'inégalité. On étudie donc le signe de e3x13ex1 pour résoudre l'inéquation.

Etape 2

Déterminer le signe de chaque facteur

Afin de déterminer le signe du produit ou quotient, on détermine le signe de chaque facteur séparément.

On étudie d'abord le signe de chaque facteur :

  • x, ex1>0ex>1x>0
  • x, e3x13>0e3x1>33x1>ln3x>1+ln33
Etape 3

Dresser un tableau de signes

On dresse un tableau de signes afin de déterminer le signe du produit ou du quotient.

On dresse ensuite le tableau de signes et on signifie par une double barre que x=1 est une valeur interdite.

-
Etape 4

Conclure sur les solutions de l'inéquation

On choisit dans le tableau de signes le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) l'inégalité est vérifiée.

L'inégalité est vérifiée lorsque e3x13ex1>0. Donc, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S=];0[]1+ln33;+[

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