Terminale ES 2015-2016

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Calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes

On peut calculer l'aire du domaine compris entre deux courbes en utilisant un calcul d'intégrales.

Soient f et g les fonctions définies sur \(\displaystyle{\left[ -2;1 \right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=x^3+x}\)

\(\displaystyle{g\left( x \right)=x^3}\)

Dans un repère orthonormal où une unité d'aire représente 4 cm2, on trace les courbes représentatives de f et g. Calculer l'aire du domaine hachuré en cm2.

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Etape 1

Exprimer l'aire à calculer

On détermine les fonctions f et g et les réels a et b tels que l'aire à calculer soit celle du domaine compris entre les courbe \(\displaystyle{C_{f}}\) et \(\displaystyle{C_g}\) et les droites d'équation \(\displaystyle{x=a}\) et \(\displaystyle{x=b}\).

On cherche à calculer l'aire du domaine compris entre les courbes \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) et les droites d'équation \(\displaystyle{x=-2}\) et \(\displaystyle{x=1}\).

Etape 2

Déterminer la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\)

On détermine la position relative de \(\displaystyle{C_f}\) et \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).

On peut lire graphiquement que :

  • \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ -2;0 \right]}\).
  • \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).
Etape 3

Exprimer l'aire en fonction d'une intégrale

Trois cas se présentent :

  • Si \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx}\).
  • Si \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), alors \(\displaystyle{A=-\int_{a}^{b} \left(f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx=\int_{a}^{b} \left(g\left(x\right)-f\left( x \right)\right) \ \mathrm dx}\).
  • Si la position des deux courbes change sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), on utilise la relation de Chasles pour obtenir plusieurs intégrales vérifiant l'un des deux premiers cas.

\(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de \(\displaystyle{C_g}\) sur \(\displaystyle{\left[ -2;0 \right]}\), et au-dessus sur \(\displaystyle{\left[ 0,1 \right]}\). On a donc :

\(\displaystyle{A=-\int_{-2}^{0}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left( f\left(x\right)-g\left( x \right)\right) \ \mathrm dx}\)

Soit :

\(\displaystyle{A=-\int_{-2}^{0}\left(x^3+x-x^3\right) \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}\left(x^3+x-x^3\right)\ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{A=-\int_{-2}^{0}x \ \mathrm dx + \int_{0}^{1}x \ \mathrm dx}\)

Etape 4

Calculer les intégrales

On calcule la ou les intégrale(s) nécessaire(s). On peut alors conclure quant à la valeur de A. Cette valeur est exprimée en unités d'aire (u.a.).

Une primitive de \(\displaystyle{x \longmapsto x}\) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) est \(\displaystyle{x \longmapsto \dfrac{x^2}{2}}\).

On a alors :

\(\displaystyle{A=-\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^0_{-2}+\left[ \dfrac{x^2}{2} \right]^1_{0}}\)

\(\displaystyle{A=-\left(\dfrac{0^2}{2}-\dfrac{\left(-2\right)^2}{2}\right)+\left(\dfrac{1^2}{2}-\dfrac{0^2}{2}\right)}\)

Donc :

\(\displaystyle{A=\dfrac{4}{2}+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}}\)

A vaut donc \(\displaystyle{\dfrac{5}{2}}\) u.a..

Etape 5

Donner l'aire dans l'unité demandée

Si l'énoncé le demande, on peut donner l'aire en centimètres carrés. Pour cela, grâce à l'échelle du graphique, on donne l'aire en centimètres carrés du carreau correspondant à une unité en abscisse et une unité en ordonnée. Si cette aire vaut n cm2, alors 1 u.a. vaut n cm2.

Ainsi, si \(\displaystyle{A=k}\) u.a., on a alors \(\displaystyle{A=k\times n}\) cm2.

Comme 1 u.a. vaut 4cm2, on a finalement :

\(\displaystyle{A=\dfrac{5}{2}\times4=10}\) cm2