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Les primitives

I

Primitives d'une fonction continue

Primitive

Soit f une fonction définie sur un intervalle I. On appelle primitive de f sur I toute fonction F dérivable sur I qui vérifie, pour tout x de I :

\(\displaystyle{ F'\left(x\right) = f\left(x\right)}\)

Soient F la fonction définie et dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=x^3-5x+1}\) et \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x^2-5}\).

On a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{F'\left(x\right)=3x^2-5=f\left(x\right)}\)

Donc F est une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I.

Si F est une primitive de f sur I, alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme \(\displaystyle{x\longmapsto F\left(x\right) + k}\), où k est un réel quelconque.

La fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right)=8x-\dfrac1x}\) est une primitive sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=8+\dfrac{1}{x^2}}\). Toutes les primitives de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) sont donc de la forme :

\(\displaystyle{x\longmapsto8x-\dfrac1x+k}\), avec \(\displaystyle{k\in\mathbb{R}}\).

Toute fonction continue sur I admet donc une infinité de primitives sur I.

II

Les primitives des fonctions usuelles

Soient n un entier et k un réel. La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle I. Le tableau suivant donne des primitives des fonctions usuelles :

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{F\left(x\right)}\) \(\displaystyle{I}\)
\(\displaystyle{k}\) \(\displaystyle{kx}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{x^{n+1}}{n+1}}\) si \(\displaystyle{n \geq 1}\) : \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

si \(\displaystyle{n \leq - 2}\) : \(\displaystyle{\left]- \infty ; 0\right[}\) et \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x}}\) \(\displaystyle{\ln\left(x\right)}\) \(\displaystyle{\left]0 ; + \infty \right[}\)
\(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{e^{x}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
III

Opérations et primitives

Soit un entier n différent de 0 et −1. On désigne par u une fonction dérivable sur un intervalle I de \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). La fonction F est une primitive de f sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{F}\) Conditions
\(\displaystyle{u'u^{n}}\) \(\displaystyle{\dfrac{u^{n+1}}{n + 1}}\) si \(\displaystyle{n \leq - 2}\), u ne s'annule pas sur I
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{u}}\) \(\displaystyle{\ln\left(u\right)}\) u fonction strictement positive
\(\displaystyle{\dfrac{u'}{\sqrt{u}}}\) \(\displaystyle{2\sqrt{u}}\) u fonction strictement positive
\(\displaystyle{u'e^{u}}\) \(\displaystyle{e^{u}}\)

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