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Déterminer le sens de variation d'une primitive à partir de la représentation graphique de la fonction

Quand une fonction f admet des primitives et que la représentation graphique de f est donnée par l'énoncé, on peut en déduire le sens de variation d'une primitive F de f.

Soit f la fonction définie et continue sur \(\displaystyle{\left[ -2;2 \right]}\) dont la représentation graphique est donnée ci-dessous.

Soit F une primitive de f sur \(\displaystyle{\left[ -2;2 \right]}\). Déterminer les variations de F.

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Etape 1

Déterminer graphiquement le signe de la fonction

On détermine le signe de f grâce à sa représentation graphique.

La fonction f est positive lorsque \(\displaystyle{C_f}\) est au-dessus de l'axe des abscisses, et négative lorsque \(\displaystyle{C_f}\) est en dessous de l'axe des abscisses.

On peut alors donner le signe de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) :

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Etape 2

Énoncer le cours

On précise que si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et que sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I. De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.

  • Si une fonction F est dérivable sur un intervalle I et si sa dérivée est positive sur I, alors F est croissante sur I.
  • De même, si sa dérivée est négative sur I, F est décroissante sur I.
Etape 3

En conclure le sens de variation de la primitive

Comme f est la dérivée de la fonction F, on peut conclure que F est croissante sur les intervalles où f est positive et décroissante sur les intervalles où f est négative.

Or f est la dérivée de F sur \(\displaystyle{\left[ -2;2 \right]}\). On en déduit les variations de F sur \(\displaystyle{\left[ -2;2 \right]}\) :

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