Terminale ES 2015-2016

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Déterminer une primitive particulière

Il est parfois demandé par l'énoncé de déterminer une primitive particulière d'une fonction f, c'est-à-dire une primitive de f qui en plus vérifie une certaine condition. Dans la plupart des cas, on demande de déterminer la primitive d'une fonction f qui s'annule en un réel a.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=x^2+3x+1}\)

Déterminer la primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) qui s'annule en 1.

Etape 1

Déterminer la formule générale des primitives

On détermine tout d'abord la forme générale des primitives de la fonction f. Pour cela, il suffit de déterminer une primitive F de f. Les primitives de f sont alors toutes de la forme \(\displaystyle{F+k}\)k est un réel.

D'après les formules des primitives usuelles, la fonction F suivante est une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{F:x\longmapsto \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+x}\)

Les primitives de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) sont donc toutes de la forme \(\displaystyle{x\longmapsto \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+x+k}\)k est un réel.

Etape 2

Utiliser l'information donnée pour déterminer k

On utilise la condition que doit vérifier la primitive demandée pour déterminer la valeur du réel k.

Si la condition est que la primitive doit s'annuler en a, on résout donc l'équation \(\displaystyle{F\left( a \right)+k=0}\) d'inconnue k.

La primitive recherchée s'annule en 1. On résout donc l'équation suivante d'inconnue k :

\(\displaystyle{ \dfrac{1^3}{3}+\dfrac{3\times1^2}{2}+1+k=0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow k=-1-\dfrac{1}{3}-\dfrac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow k=\dfrac{-6-2-9}{6}=-\dfrac{17}{6}}\)

Etape 3

Conclure

On peut donc conclure que la fonction \(\displaystyle{F+k}\)k est le réel déterminé à l'étape précédente est la primitive recherchée.

La primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) qui s'annule en 1 est la fonction suivante :

\(\displaystyle{x\longmapsto \dfrac{x^3}{3}+\dfrac{3x^2}{2}+x-\dfrac{17}{6}}\)