Terminale ES 2015-2016

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Les suites

Suites arithmétiques et géométriques

Suite arithmétique de raison \(\displaystyle{r}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\) Suite géométrique de raison \(\displaystyle{q}\) et de premier terme \(\displaystyle{u_0}\)
Relation de récurrence \(\displaystyle{u_{n+1}=u_n+r}\) \(\displaystyle{u_{n+1}=u_n\times q}\)
Terme général

Pour tout entier \(\displaystyle{n\geq p}\) :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} + \left(n - p\right) r}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} + nr}\)

Pour tout entier \(\displaystyle{n\geq p}\) :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{p} \times q^{n-p}}\)

En particulier, si \(\displaystyle{\left(u_{n}\right)}\) est définie dès le rang 0 :

\(\displaystyle{u_{n} = u_{0} \times q^{n}}\)

La limite d'une suite géométrique de terme général \(\displaystyle{q^{n}}\)

La limite de la suite géométrique de terme général \(\displaystyle{q^{n}}\) dépend de la valeur de \(\displaystyle{q}\) :

Condition sur \(\displaystyle{q}\) Limite de \(\displaystyle{\left(q^n\right)}\)
\(\displaystyle{0 \lt q \lt 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = 0}\)
\(\displaystyle{q = 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = 1}\)
\(\displaystyle{q \gt 1}\) \(\displaystyle{\lim_{n \to +\infty } q^{n} = + \infty }\)