Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Montrer qu'une suite est géométrique

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on peut avant tout montrer que la suite est géométrique et déterminer sa raison.

On considère la suite (vn) définie par v0=2 et, pour tout entier naturel n, par :

vn+1=4vn+1

On s'intéresse alors à la suite (un) définie pour tout entier naturel n par :

un=vn+13

Montrer que la suite (un) est géométrique et déterminer sa raison.

Etape 1

Exprimer un+1 en fonction de un

Pour tout entier naturel n, on factorise l'expression donnant un+1 de manière à faire apparaître un, en simplifiant au maximum le facteur que multiplie un.

Soit n un entier naturel :

un+1=vn+1+13.

On remplace vn+1 par son expression en fonction de vn :

un+1=4vn+1+13

On remplace vn par son expression en fonction de un :

un+1=4(un13)+1+13

un+1=4un43+33+13

un+1=4un

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On vérifie qu'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un.

En posant q=4, on a bien, pour tout entier naturel n, un+1=qun.

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

S'il existe un réel q indépendant de la variable n tel que, pour tout entier naturel n, un+1=q×un, on peut conclure que la suite est géométrique de raison q. On précise alors son premier terme.

La suite (un) est donc une suite géométrique de raison 4. Son premier terme vaut :

u0=v0+13=2+13=73

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