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Déterminer le signe d'une dérivée

Pour déterminer les variations d'une fonction f, on étudie en général le signe de sa dérivée. Cette étape est donc fondamentale dans tout exercice d'analyse.

Déterminer le signe de la dérivée suivante, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}}\) par :

\(\displaystyle{f{'}\left( x \right)=\dfrac{1-x^2}{\left( 1+x \right)^3}}\)

Etape 1

Rappeler le domaine de dérivabilité de f

On restreint l'étude du signe de la dérivée au domaine de dérivabilité. Dans le cas d'une somme, d'un produit, d'une composée, d'un quotient (dont le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions usuelles, le domaine de dérivabilité est très souvent le même que le domaine de définition.

La fonction dérivée f' est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}}\), on étudie donc son signe sur ce domaine.

Etape 2

Simplifier au maximum \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On calcule et on réduit au maximum l'expression de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) afin d'obtenir une forme dont on sait déterminer le signe. Pour rappel, on sait déterminer le signe :

  • D'une expression affine
  • D'un trinôme du second degré
  • D'expressions incluant les fonctions logarithme, exponentielle, racine
  • D'un produit, quotient, composée de facteurs de ce type

On reconnaît une identité remarquable de la forme \(\displaystyle{a^2-b^2=\left( a+b \right)\left( a-b \right)}\), avec a et b deux réels. On a :

\(\displaystyle{\forall x\in \mathbb{R} \backslash \left\{ -1 \right\}, f^{'}\left( x \right)=\dfrac{\left( 1+x \right)\left( 1-x \right)}{\left( 1+x \right)^3}=\dfrac{1-x }{\left( 1+x \right)^2}}\)

Etape 3

Étudier le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) par facteurs

Si \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) est exprimé sous la forme d'un produit et/ou quotient de facteurs, on étudie le signe de chacun de ces facteurs.

  • Pour déterminer le signe d'une expression affine de type \(\displaystyle{ax+b}\), on résout l'inéquation \(\displaystyle{ax+b\gt0}\).
  • Pour déterminer le signe d'un trinôme du second degré, on utilise son discriminant \(\displaystyle{\Delta}\).

On a :

  • \(\displaystyle{1-x \gt0 \Leftrightarrow x\lt1}\)
  • \(\displaystyle{\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1 \right\}, \left( 1+x \right)^2\gt0}\)
Etape 4

Dresser le tableau de signes de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\)

On récapitule les signes de chaque facteur composant \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) dans un tableau de signes pour en déduire le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) selon les valeurs de x.

On obtient donc le tableau de signes suivant :

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