Terminale ES 2016-2017

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Calculer une intégrale

Afin de déterminer la valeur de \(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\), on doit déterminer une primitive de la fonction f. Il ne reste ensuite qu'un calcul simple à effectuer.

Déterminer la valeur de l'intégrale suivante :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx}\)

Etape 1

Définir la fonction f

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale et égal au contenu de l'intégrale à calculer.

On pose :

\(\displaystyle{\forall x\in \left[ 0;1 \right], f\left( x \right)=e^{-3x}}\)

Etape 2

Déterminer une primitive de f

On détermine une primitive de f sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale en utilisant les méthodes classiques de recherche de primitives.

On détermine une primitive F de f sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

On pose :

  • \(\displaystyle{u\left( x \right)=-3x}\)
  • u est dérivable sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) et pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\), \(\displaystyle{u^{'}\left( x \right)=-3}\)

On a :

\(\displaystyle{f=-\dfrac{1}{3}u^{'}e^{u}}\)

Une primitive de f sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\) est donc de la forme :

\(\displaystyle{F=-\dfrac{1}{3}e^{u}}\)

Finalement, la fonction suivante est une primitive de f sur \(\displaystyle{\left[ 0;1 \right]}\).

\(\displaystyle{F:x\longmapsto-\dfrac{1}{3}e^{-3x}}\)

Etape 3

Calculer l'intégrale

Si F est une primitive de f sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), on a :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = F\left( b \right)-F\left( a \right)}\)

On effectue le calcul.

On a donc :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=F\left(1\right)-F\left(0\right)}\)

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=-\dfrac{1}{3}e^{-3\times1}-\left(-\dfrac{1}{3}e^{-3\times0} \right)}\)

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{-3x} \ \mathrm dx=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{3}e^{-3}}\)