Terminale ES 2016-2017

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Passer d'une loi normale générale à la loi normale centrée réduite

Dans le calcul d'une probabilité, lorsque la variable aléatoire X suit une loi normale, on peut se rapporter au calcul d'une loi normale centrée réduite.

Soit X la variable aléatoire qui suit la loi normale \(\displaystyle{N\left(50;9\right)}\). Exprimer \(\displaystyle{p\left(46 \leq X \leq 58\right)}\) en fonction d'une probabilité de la loi normale centrée réduite.

Etape 1

Identifier m et \(\displaystyle{\sigma}\)

On donne les paramètres de la loi normale que suit X.

Si X suit la loi \(\displaystyle{N\left(m; \sigma ^2\right)}\), alors \(\displaystyle{E\left(X\right) = m}\) et \(\displaystyle{\sigma \left(X\right) = \sigma}\).

X suit la loi normale \(\displaystyle{N\left(50;9\right)}\).

On a donc :

\(\displaystyle{m = 50}\) et \(\displaystyle{\sigma = \sqrt 9 = 3}\)

Etape 2

Réciter le cours

On rappelle que si X suit une loi normale \(\displaystyle{N\left(m; \sigma^2\right)}\), alors la variable \(\displaystyle{Z = \dfrac{X-m}{\sigma}}\) suit la loi normale centrée réduite.

X suit la loi normale \(\displaystyle{N\left(50;9\right)}\) donc \(\displaystyle{Z = \dfrac{X-m }{\sigma} = \dfrac{X-50}{3}}\) suit la loi normale centrée réduite.

Etape 3

Faire apparaître la loi normale centrée réduite

Si on cherche par exemple à calculer \(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right)}\), on écrit que :

\(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right)= p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq \dfrac{X-m}{\sigma} \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right)}\)

On obtient :

\(\displaystyle{p\left(a \leq X \leq b\right) =p \left(\dfrac{a-m}{\sigma} \leq Z \leq \dfrac{b-m}{\sigma}\right)}\), avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Donc :

\(\displaystyle{p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(\dfrac{46-50}{3} \leq \dfrac{X-50}{3} \leq \dfrac{58-50}{3}\right)}\)

\(\displaystyle{p\left(46 \leq X \leq 58\right)= p \left(-\dfrac{4}{3} \leq Z\leq \dfrac{8}{3}\right)}\)

Avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.