Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Déterminer les points d'intersection de deux courbes

On cherche les points d'intersection de deux courbes représentatives Cf et Cg, c'est-à-dire l'ensemble des points du plan de coordonnées (x,f(x)) dont l'abscisse x vérifie f(x)=g(x).

Soient f et g les deux fonctions définies sur par :

f(x)=x3+x2+x+1

g(x)=x3x

Déterminer les points d'intersection des courbes représentatives Cf et Cg.

Etape 1

Énoncer la démarche

Avant de commencer la résolution, on énonce la démarche :

"Les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont les solutions de l'équation f(x)=g(x)."

Les abscisses des points d'intersection de Cf et Cg sont les solutions de l'équation f(x)=g(x). On résout donc cette équation.

Etape 2

Résoudre l'équation f(x)=g(x)

On résout tout d'abord l'équation f(x)=g(x). Les solutions éventuelles de cette équation sont les abscisses des points d'intersection des courbes Cf et Cg.

On résout :

Pour tout réel x, f(x)=g(x)

x3+x2+x+1=x3x

x2+2x+1=0

Or, on sait que pour tous réels a et b :

a2+2ab+b2=(a+b)2

On a donc, pour tout réel x :

x2+2x+1=0(x+1)2=0

a2 étant nul si et seulement si a=0, on a alors :

(x+1)2=0x+1=0x=1

L'équation f(x)=g(x) admet donc x=1 pour seule solution.

Etape 3

Calculer l'image de chaque solution

Pour chaque solution x de l'équation précédente, on détermine la valeur de f(x) (ou celle de g(x) car g(x)=f(x)). Cela donne l'ordonnée du point d'intersection de Cf et Cg d'abscisse x.

−1 est la seule solution de l'équation f(x)=g(x). On a :

f(1)=(1)3+(1)2+(1)+1=1+11+1

Finalement :

f(1)=0

Etape 4

En déduire les coordonnées des points d'intersection

Les coordonnées trouvées grâce aux deux étapes précédentes sont donc les coordonnées des points d'intersection des courbes Cf et Cg.

On peut conclure que le seul point d'intersection des courbes Cf et Cg est le point de coordonnées (1,0).

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