Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle pour transformer une expression

Il est possible de transformer une expression à l'aide des propriétés algébriques de l'exponentielle.

Démontrer l'égalité suivante :

x, e3xe3x+ex=1e2x+1

Etape 1

Identifier l'exponentielle à transformer

On identifie l'exponentielle à transformer.

Dans le membre de gauche, il y a un terme e3x qui n'apparaît pas dans le membre de droite. Il faut le modifier.

Etape 2

Effectuer une opération sur l'expression à modifier

Afin de transformer l'expression, on utilise :

  • La factorisation
  • La multiplication du numérateur et du dénominateur par une même exponentielle

Ici, on factorise le numérateur et le dénominateur par e3x. On obtient :

x, e3xe3x+ex=e3x×1e3x(e3xe3x+exe3x)

Etape 3

Utiliser les formules du cours

On utilise des formules du cours afin de simplifier l'expression. On cite la formule utilisée à chaque fois.

On sait que, pour tous réels a et b :

eaeb=eab

Ainsi, pour tout réel x :

e3xe3x+ex=e3x×1e3x(1+ex3x)

e3xe3x+ex=e3x×1e3x(1+e2x)

On simplifie par e3x, on en déduit que, pour tout réel x :

e3xe3x+ex=11+e2x

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