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Montrer qu'une suite est arithmétique

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique, puis de déterminer son premier terme et sa raison.

On considère la suite \(\displaystyle{\left( v_n \right)}\) définie par \(\displaystyle{v_0=-1}\), \(\displaystyle{v_1=\dfrac{1}{2}}\) et, pour tout entier naturel n, par :

\(\displaystyle{v_{n+2}=v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n}\)

On considère alors \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) la suite définie pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_n=\dfrac{v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

On admet que, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0}\). On veut montrer que la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est arithmétique et déterminer sa raison.

Etape 1

Calculer \(\displaystyle{u_{n+1}-u_{n}}\)

Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit la différence \(\displaystyle{u_{n+1}-u_{n}}\).

Soit n un entier naturel. Comme, pour tout entier naturel, \(\displaystyle{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\neq0}\), on obtient :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+2}-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n-\dfrac{1}{2}v_{n+1}}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12v_{n+1}-\dfrac{1}{4}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{v_{n+1}}{\dfrac12\left(v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n\right)}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}-\dfrac{v_{n}}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{2v_{n+1}-v_n}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}}\)

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_n=\dfrac{2\left(v_{n+1}-\dfrac12v_n\right)}{v_{n+1}-\dfrac{1}{2}v_n}=2}\)

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On regarde, si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}-u_{n}}\) est égal à une constante r (un réel fixe, c'est-à-dire indépendant de la variable n).

En posant \(\displaystyle{r=2}\), on a bien, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{u_{n+1}-u_{n}=r}\)

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

Si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{u_{n+1}-u_{n}}\) est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.

On peut donc conclure que la suite \(\displaystyle{\left( u_n \right)}\) est une suite arithmétique de raison 2. Son premier terme vaut :

\(\displaystyle{u_0=\dfrac{v_0}{v_{1}-\dfrac{1}{2}v_0}=\dfrac{-1}{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}}=-1}\)

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