Terminale L 2016-2017

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Déterminer un des paramètres d'une loi normale

Afin de déterminer un paramètre manquant d'une loi normale dont on connaît une probabilité, il faut passer à la loi normale centrée réduite et s'aider de la calculatrice.

On considère la variable aléatoire X qui suit une loi normale de moyenne m et d'écart-type \(\displaystyle{\sigma = 2}\).

Sachant que \(\displaystyle{p\left(X \leq 5\right) = 0,4}\), déterminer m.

Etape 1

Écrire la probabilité donnée dans l'énoncé

On écrit la probabilité donnée dans l'énoncé, par exemple \(\displaystyle{p\left(X\leq a\right) = b}\).

On a :

\(\displaystyle{p\left(X \leq 5\right) = 0,4}\)

Etape 2

Passer à la loi normale centrée réduite

On passe à la loi normale centrée réduite, en posant la variable \(\displaystyle{Z = \dfrac{X-m}{\sigma}}\).

Ainsi \(\displaystyle{p\left(X\leq a\right) = b}\) devient \(\displaystyle{p\left(\dfrac{X-m}{\sigma}\leq \dfrac{a-m}{\sigma}\right) = b}\).

On passe à la loi normale centrée réduite, en posant la variable \(\displaystyle{Z = \dfrac{X-m}{\sigma}}\).

\(\displaystyle{p\left(X \leq 5\right) = 0,4}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow p\left(\dfrac{X-m}{\sigma}\leq \dfrac{5-m}{\sigma}\right) =0,4}\)

On sait ici que \(\displaystyle{\sigma = 2}\). On en déduit que :

\(\displaystyle{p\left(Z\leq \dfrac{5-m}{2}\right) =0,4}\)

Etape 3

Trouver l'inconnue à l'aide de la calculatrice

Avec la calculatrice, on utilise la touche \(\displaystyle{invN}\) (ou \(\displaystyle{invNorm}\) sur des anciens modèles) sur Casio ou \(\displaystyle{FracNormale}\) sur Ti.

On détermine ainsi la valeur de \(\displaystyle{\dfrac{a-m}{\sigma}}\).

  • Sur Casio, on utilise \(\displaystyle{invN}\) avec \(\displaystyle{area=0.4}\), \(\displaystyle{\mu=0}\) et \(\displaystyle{\sigma=1}\)
  • Sur TI, on utilise \(\displaystyle{FracNormale\left(0.4\ ,0\ ,1\right)}\)

On obtient :

\(\displaystyle{ \dfrac{5-m}{2} \approx -0,253}\)

Etape 4

Résoudre pour déterminer le paramètre manquant

On résout l'équation obtenue, dont l'inconnue est soit m soit \(\displaystyle{\sigma}\).

On conclut en donnant la valeur du paramètre recherché.

On en déduit que :

\(\displaystyle{5 - m \approx -0,253 \times 2}\)

On en conclut que :

\(\displaystyle{ m \approx 5,506 }\)