Terminale L 2015-2016

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Etudier la convexité d'une fonction sur un intervalle

Méthode 1

En utilisant f'

Étudier la convexité d'une fonction revient à déterminer les intervalles sur lesquels elle est convexe et ceux sur lesquels elle est concave. Une fonction dérivable f est convexe lorsque sa dérivée est croissante et concave lorsque sa dérivée est décroissante.

Soit f une fonction définie et dérivable sur \(\displaystyle{\left[ -3;3 \right]}\). On donne ci-dessous la courbe représentative de sa dérivée f'.

En déduire la convexité de f.

-
Etape 1

Déterminer les variations de f'

On dresse le tableau de variations de f'. L'information peut être donnée dans l'énoncé, sur un graphique ou dans les questions précédentes.

Grâce à la représentation graphique de f', on obtient le tableau de variations suivant :

-
Etape 2

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
  • Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.

D'après le cours :

  • Une fonction dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée est croissante sur I.
  • Une fonction dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée est décroissante sur I.
Etape 3

Conclure

À l'aide du tableau de variations de f', on conclut sur la convexité de f en donnant les intervalles sur lesquels elle est convexe ou concave.

Ainsi :

  • f est concave sur \(\displaystyle{\left[ -3;-1 \right]}\) et sur \(\displaystyle{\left[ 0;3 \right]}\).
  • f est convexe sur \(\displaystyle{\left[ -1;0 \right]}\).
Méthode 2

En utilisant f''

Une fonction deux fois dérivable f est convexe lorsque sa dérivée seconde est positive et concave lorsque sa dérivée seconde est négative.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}, f\left(x\right)=2x^{3}+\dfrac{1}{2}x^2-3x+2}\)

Étudier la convexité de f.

Etape 1

Calculer f''

On justifie que f est dérivable et on calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\).

Ensuite, on justifie que f' est dérivable et on calcule \(\displaystyle{f''\left(x\right)}\).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynomiale et :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R},\ f^{'}\left(x\right)=6x^2+x-3}\)

f' est également dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynomiale et :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R},\ f^{''}\left(x\right)=12x+1}\)

Etape 2

Déterminer le signe de f''

On détermine le signe de f'' et on récapitule le résultat dans un tableau de signes.

Étudions le signe de la dérivée seconde :

Pour tout réel x, \(\displaystyle{f^{''}\left(x\right)\gt0 \Leftrightarrow 12x+1\gt0}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow12x\gt -1}\)

\(\displaystyle{ \Leftrightarrow x\gt -\dfrac{1}{12} }\)

On obtient donc le tableau de signes suivant :

-
Etape 3

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
  • Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Une fonction deux fois dérivable f est convexe sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est positive sur I.
  • Une fonction deux fois dérivable f est concave sur un intervalle I lorsque sa dérivée seconde est négative sur I.
Etape 4

Conclure

À l'aide du tableau de signes de \(\displaystyle{f''\left(x\right)}\), on donne les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.

Ainsi :

  • f est concave sur \(\displaystyle{\left] -\infty;-\dfrac{1}{12} \right]}\).
  • f est convexe sur \(\displaystyle{\left[ -\dfrac{1}{12};+\infty \right[}\).
Méthode 3

À l'aide de la courbe représentative de f

Une fonction f est convexe lorsque sa courbe représentative se trouve au-dessus de ses tangentes, et concave lorsque sa courbe représentative se trouve en dessous de ses tangentes.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left[ -2;2 \right]}\) dont la courbe représentative est donnée ci-dessous.

Déterminer la convexité de f.

-
Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que :

  • Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
  • Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.

D'après le cours, on sait que :

  • Une fonction f est convexe sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement au-dessus de ses tangentes sur I.
  • Une fonction f est concave sur un intervalle I lorsque sa courbe représentative se situe intégralement en dessous de ses tangentes sur I.
Etape 2

Étudier la position de la courbe par rapport à ses tangentes

Grâce au graphique, on étudie la position de la courbe par rapport à ses tangentes.

La courbe représentative de f est :

  • En dessous de ses tangentes sur \(\displaystyle{\left[ -2;-1 \right]}\) et sur \(\displaystyle{\left[ 1;2 \right]}\)
  • Au-dessus de ses tangentes sur \(\displaystyle{\left[ -1;1 \right]}\)
-
Etape 3

Conclure

On en déduit les intervalles sur lesquels f est concave ou convexe.

On peut donc en déduire que :

  • f est concave sur \(\displaystyle{\left[ -2;-1 \right]}\) et sur \(\displaystyle{\left[ 1;2 \right]}\).
  • f est convexe sur \(\displaystyle{\left[ -1;1 \right]}\).