Terminale S 2016-2017

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Etudier la périodicité d'une fonction

Une fonction f définie sur I est périodique de période T si et seulement si \(\displaystyle{\forall x \in I}\), \(\displaystyle{x+T\in I}\) et \(\displaystyle{f\left(x+ T\right)= f\left(x\right)}\).

Soit la fonction f définie par :

\(\displaystyle{\forall x\in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3\sin \left(4x-1\right)}\)

Étudier la périodicité de f.

Etape 1

Conjecturer si possible la période

On conjecture la période T de la fonction à l'aide de son expression.

Les fonctions sinus et cosinus sont \(\displaystyle{2\pi}\) -périodiques. On a donc, pour tout réel X :

\(\displaystyle{f\left(X+ 2\pi\right) = f\left(X\right)}\)

Sachant cela, on peut en déduire qu'une fonction f de type \(\displaystyle{f\left(x\right) = \cos \left(ax+b\right)}\) (ou \(\displaystyle{f\left(x\right) = \sin \left(ax+b\right)}\) ) est \(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{a}}\) -périodique.

En effet :

\(\displaystyle{f\left(X+ \dfrac{2\pi}{a}\right) = \cos \left(a\left(x + \dfrac{2\pi}{a}\right) + b\right)= \cos \left(ax+b + 2\pi\right)=\cos\left(ax+b\right)}\)

La fonction définie par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =\cos \left(3x+2\right) }\)

est périodique de période \(\displaystyle{\dfrac{2\pi}{3}}\).

Si une fonction comporte deux expressions trigonométriques, on choisit le plus petit multiple commun aux deux périodes.

On a, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = 3\sin \left(4x-1\right)}\).

On conjecture donc que f est périodique de période \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\).

Etape 2

Vérifier les conditions de périodicité

On vérifie que pour tout \(\displaystyle{x\in D_f}\), on a \(\displaystyle{x+T\in D_f}\).

On calcule ensuite \(\displaystyle{f\left(x+T\right)}\), et on l'exprime en fonction de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\).

On a, pour tout réel x, \(\displaystyle{x+\dfrac{\pi}{2}\in \mathbb{R}}\).

De plus, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-1\right)}\)

D'où, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x+4\times \dfrac{\pi}{2}-1\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x-1 +2\pi\right)}\)

Donc, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x-1 \right)}\)

Etape 3

Conclure

Si \(\displaystyle{f\left(x\right) = f\left(x+T\right)}\) alors la fonction est périodique de période T.

On a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = f\left(x\right) }\)

Donc la fonction f est périodique de période \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{2}}\).