Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Etudier la périodicité d'une fonction

Une fonction f définie sur I est périodique de période T si et seulement si xI, x+TI et f(x+T)=f(x).

Soit la fonction f définie par :

x, f(x)=3sin(4x1)

Étudier la périodicité de f.

Etape 1

Conjecturer si possible la période

On conjecture la période T de la fonction à l'aide de son expression.

Les fonctions sinus et cosinus sont 2π -périodiques. On a donc, pour tout réel X :

f(X+2π)=f(X)

Sachant cela, on peut en déduire qu'une fonction f de type f(x)=cos(ax+b) (ou f(x)=sin(ax+b) ) est 2πa -périodique.

En effet :

f(X+2πa)=cos(a(x+2πa)+b)=cos(ax+b+2π)=cos(ax+b)

La fonction définie par :

x, f(x)=cos(3x+2)

est périodique de période 2π3.

Si une fonction comporte deux expressions trigonométriques, on choisit le plus petit multiple commun aux deux périodes.

On a, x, f(x)=3sin(4x1).

On conjecture donc que f est périodique de période π2.

Etape 2

Vérifier les conditions de périodicité

On vérifie que pour tout xDf, on a x+TDf.

On calcule ensuite f(x+T), et on l'exprime en fonction de f(x).

On a, pour tout réel x, x+π2.

De plus, pour tout réel x :

f(x+π2)=3sin(4(x+π2)1)

D'où, pour tout réel x :

f(x+π2)=3sin(4x+4×π21)

f(x+π2)=3sin(4x1+2π)

Donc, pour tout réel x :

f(x+π2)=3sin(4x1)

Etape 3

Conclure

Si f(x)=f(x+T) alors la fonction est périodique de période T.

On a, pour tout réel x :

f(x+π2)=f(x)

Donc la fonction f est périodique de période π2.

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