Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente

Après avoir déterminé une équation de la tangente, il est souvent demandé de déterminer la position relative de la courbe et de cette tangente, c'est-à-dire d'étudier laquelle est graphiquement au-dessus de l'autre. Cette question se résout par une étude de signe.

On considère la fonction f définie sur par :

x, f(x)=x32x2+x4

On appelle Cf sa courbe représentative et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation y=x4.

Déterminer la position relative de Cf et de T.

Etape 1

Rappeler l'équation de la tangente

D'après le cours, on sait qu'une équation de la tangente à Cf (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :

y=f(a)(xa)+f(a)

Si on ne connaît pas déjà l'équation de la tangente, on la détermine.

Une expression de la tangente T au point d'abscisse 0 est ici connue :

T:y=x4

Etape 2

Énoncer la démarche

On énonce la démarche : pour étudier la position relative de Cf et de T:y=ax+b, on étudie le signe de f(x)(ax+b).

Pour étudier la position relative de Cf et de T, on étudie le signe de f(x)(x4).

Etape 3

Calculer f(x)(ax+b)

On calcule f(x)(ax+b) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f(x)(x4)=x32x2+x4x+4

f(x)(x4)=x32x2

On factorise alors l'expression obtenue pour pouvoir ensuite étudier son signe :

f(x)(x4)=x2(x2)

Etape 4

Étudier le signe de f(x)(ax+b)

On étudie le signe de f(x)(ax+b) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.

On étudie le signe de f(x)(x4) :

  • Pour tout réel x, x20
  • x2>0x>2

On en déduit le tableau de signes suivant :

-
Etape 5

Conclure

On conclut sur la position relative, en trois points :

  • Sur les intervalles où f(x)(ax+b)>0, Cf est au-dessus de T.
  • Sur les intervalles où f(x)(ax+b)<0, Cf est en dessous de T.
  • Lorsque f(x)(ax+b)=0, Cf et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).

Ainsi :

  • Cf est au-dessus de T sur ]2;+[.
  • Cf est en dessous de T sur ];2[.
  • Cf et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.
pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.