Terminale S 2016-2017

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Déterminer une équation d'une tangente à la courbe

Grâce à la dérivée de f, il est facile de déterminer une équation de la tangente T à \(\displaystyle{C_f}\), la courbe représentative de f, au point d'abscisse a.

Soit la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) =x^3-3x^2+x-1}\)

On appelle \(\displaystyle{C_f}\) sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente T à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse \(\displaystyle{x=1}\).

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation de tangente

La tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a admet pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)}\)

La tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 1 admet pour équation :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{f\left(a\right)}\)

À partir de l'expression de f, on calcule \(\displaystyle{f\left(a\right)}\).

\(\displaystyle{f\left(1\right) = 1^3-3\times 1^2+1-1}\)

Donc :

\(\displaystyle{f\left(1\right) = -2}\)

Etape 3

Calculer \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\)

On calcule \(\displaystyle{f'\left(x\right) }\) si on ne connaît pas son expression.

À partir de l'expression de f', on calcule \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\).

f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme.

Donc :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f'\left(x\right)=3x^2-6x+1}\)

On en déduit la valeur de \(\displaystyle{f'\left(1\right)}\) :

\(\displaystyle{f'\left(1\right)=3\times1^2-6\times1+1}\)

\(\displaystyle{f'\left(1\right)=-2}\)

Etape 4

Appliquer la formule

On détermine finalement une équation de la tangente en remplaçant \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) et \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) par leur valeur et on simplifie l'expression.

Une équation de T est :

\(\displaystyle{y = -2\left(x-1\right)-2}\)

\(\displaystyle{y = -2x+2-2}\)

Donc :

\(\displaystyle{T:y = -2x}\)