Terminale S 2016-2017

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La fonction exponentielle

I

Les propriétés caractéristiques de l'exponentielle

A

La caractérisation

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée \(\displaystyle{\exp}\), est l'unique fonction f telle que :

  • \(\displaystyle{f}\) est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
  • \(\displaystyle{f' = f}\)
  • \(\displaystyle{f\left(0\right) = 1}\)

Pour tous réels x et y :

\(\displaystyle{\exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)}\)

On note e le nombre \(\displaystyle{\exp\left(1\right)}\). On a : \(\displaystyle{e\approx 2,718}\).

L'écriture courante de \(\displaystyle{\exp\left(x\right)}\) est \(\displaystyle{e^{x}}\) .
B

Le signe

Pour tout réel x,

\(\displaystyle{e^{x} \gt 0}\)

Soit la fonction f définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right)=e^{-2x}}\)

La fonction f est strictement positive sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

\(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)

\(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)

La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances. Soient deux réels x et y, et un entier relatif n :

\(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)

\(\displaystyle{e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\)

\(\displaystyle{e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}}\)

\(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}}\)

II

Étude de la fonction exponentielle

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition sont :

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty }\)

Croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } x e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty }\)

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 étant égal à 1 :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1}\)

B

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable (et donc continue) sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Pour tout réel x :

\(\displaystyle{\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}}\)

Dérivée de \(\displaystyle{e^{u}}\)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée \(\displaystyle{e^{u}}\) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}}\)

Considérons la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=e^{3x+6}}\). On pose, pour tout réel x :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right)=3x+6}\)
  • Comme fonction affine, u est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et, pour tout réel x, \(\displaystyle{u'\left(x\right)=3}\)

\(\displaystyle{f=e^u}\), donc f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et \(\displaystyle{f'=u'e^u}\). Ainsi, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=3e^{3x+6}}\)

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

-

La droite d'équation \(\displaystyle{y = x + 1}\) est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-
Chapitre 5 La fonction exponentielle
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