Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

La fonction exponentielle

I

Les propriétés caractéristiques de l'exponentielle

A

La caractérisation

Fonction exponentielle

La fonction exponentielle, notée exp, est l'unique fonction f telle que :

  • f est dérivable sur
  • f=f
  • f(0)=1

Pour tous réels x et y :

exp(x+y)=exp(x)×exp(y)

On note e le nombre exp(1). On a : e2,718.

L'écriture courante de exp(x) est ex.
B

Le signe

Pour tout réel x,

ex>0

Soit la fonction f définie pour tout réel x par :

f(x)=e2x

La fonction f est strictement positive sur .

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

ex=eyx=y

ex<eyx<y

La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances. Soient deux réels x et y, et un entier relatif n :

ex+y=exey

ex=1ex

exy=exey

(ex)n=enx

II

Étude de la fonction exponentielle

A

Les limites

Limites

Les limites de la fonction exponentielle aux bornes de son ensemble de définition sont :

limxex=0

limx+ex=+

Croissances comparées

limxxex=0

limx+exx=+

Taux d'accroissement

Le nombre dérivé de la fonction exponentielle en 0 étant égal à 1 :

limx0ex1x=1

B

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable (et donc continue) sur . Pour tout réel x :

exp(x)=exp(x)=ex

Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée eu est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

(eu)(x)=u(x)eu(x)

Considérons la fonction f définie sur par f(x)=e3x+6. On pose, pour tout réel x :

  • u(x)=3x+6
  • Comme fonction affine, u est dérivable sur et, pour tout réel x, u(x)=3

f=eu, donc f est dérivable sur et f=ueu. Ainsi, pour tout réel x :

f(x)=3e3x+6

C

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

-

La droite d'équation y=x+1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-
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