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Résoudre une inéquation avec la fonction exponentielle

Méthode 1

Si l'inéquation est du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}\leqslant e^{v\left(x\right)}}\)

En présence d'une inéquation du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \leq e^{v\left(x\right)}}\), on peut faire disparaître les exponentielles pour résoudre.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{e^{2x-3}\leq e^{3x}}\)

Etape 1

Faire disparaître les exponentielles

On sait que :

\(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq e^{v\left(x\right)} \Leftrightarrow u\left(x\right) \geq v\left(x\right)}\)

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{2x-3}\leq e^{3x} \Leftrightarrow 2x-3 \leq 3x}\)

Etape 2

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout ensuite l'inéquation obtenue.

Or, pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x-3 \leq 3x \Leftrightarrow x \geq -3}\)

Etape 3

Conclure

On conclut sur les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq e^{v\left(x\right)}}\).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S = \left[ -3 ; +\infty \right[}\)

Méthode 2

Si l'inéquation est du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq k}\)

Afin de résoudre une inéquation du type \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq k}\) (avec \(\displaystyle{k \gt0}\) ), on utilise la fonction logarithme.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{e^{2x+7} \lt 2}\)

Etape 1

Vérifier le signe de k

On sait qu'une exponentielle est toujours strictement positive. Ainsi, plusieurs cas se présentent :

  • L'inéquation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq k}\) est vérifiée sur l'ensemble de définition de u si \(\displaystyle{k \leqslant 0}\).
  • L'inéquation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \leq k}\) n'admet pas de solution sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) si \(\displaystyle{k \leqslant 0}\).

En revanche, si \(\displaystyle{k\gt 0}\), l'inéquation peut admettre des solutions.

\(\displaystyle{2 \gt 0}\), donc l'inéquation peut admettre des solutions.

Etape 2

Utiliser la fonction logarithme pour faire disparaître l'exponentielle

Lorsque \(\displaystyle{k\gt 0}\), on a :

\(\displaystyle{e^{u\left(x\right)}\geq k \Leftrightarrow u\left(x\right) \geq \ln \left(k\right)}\)

Ici, on a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{2x+7}\lt 2 \Leftrightarrow 2x+7\lt \ln 2}\)

Etape 3

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout l'inéquation obtenue.

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{2x+7 \lt \ln 2 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow 2x \lt \ln 2 - 7}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x \lt \dfrac{\ln 2 - 7 }{2}}\)

Etape 4

Conclure

On conclut sur les solutions de l'inéquation \(\displaystyle{e^{u\left(x\right)} \geq k}\).

Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S=\left]-\infty ; \dfrac{ln2-7}{2} \right[}\)

Méthode 3

Si l'inéquation est du type \(\displaystyle{ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c \gt 0}\)

Afin de résoudre une inéquation du type \(\displaystyle{ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c \gt 0}\), on introduit le changement de variable \(\displaystyle{X = e^{u\left(x\right)}}\) afin de se ramener à une inéquation du second degré.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation :

\(\displaystyle{e^{2x}-4e^x+3 \lt 0 }\)

Etape 1

Poser \(\displaystyle{X=e^{u\left(x\right)}}\)

On pose la nouvelle variable \(\displaystyle{X=e^{u\left(x\right)}}\).

On pose \(\displaystyle{X = e^x}\).

Etape 2

Ecrire l'inéquation obtenue

Une fois le changement de variable effectué, l'inéquation \(\displaystyle{ae^{2u\left(x\right)}+be^{u\left(x\right)}+c \gt 0}\) devient \(\displaystyle{aX^2+bX+c\gt0}\).

On a, pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{2x}-4e^x+3 \lt 0\Leftrightarrow \left(e^{x}\right)^2-4e^x+3 \lt 0}\)

Ainsi, l'inéquation devient :

\(\displaystyle{X^2-4X+3\lt0}\)

Etape 3

Résoudre la nouvelle inéquation

On résout l'inéquation du second degré obtenue.

On reconnaît la forme d'un trinôme du second degré. On sait donc que l'expression est du signe de a (strictement positif) sauf entre ses racines. On détermine le discriminant :

\(\displaystyle{\Delta= b^2-4ac }\)

\(\displaystyle{\Delta= \left(-4\right)^2-4\times 1 \times 3}\)

\(\displaystyle{\Delta=4}\)

\(\displaystyle{\Delta \gt 0}\), donc l'équation \(\displaystyle{X^2+2X - 3=0}\) admet deux solutions :

  • \(\displaystyle{X_1 =\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4 -\sqrt{4}}{2\times 1} =1}\)
  • \(\displaystyle{X_2 =\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{4+\sqrt{4}}{2\times 1} =3}\)

On en déduit que le trinôme \(\displaystyle{X^2-4X+3}\) est strictement négatif sur \(\displaystyle{\left]1 ; 3 \right[}\).

Etape 4

Donner les solutions de la première inéquation

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : \(\displaystyle{x = \ln\left(X\right)}\).

On prend l'image par le logarithme népérien de chaque intersection d'un intervalle solution de la nouvelle inéquation avec l'intervalle \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

Tous les réels de l'intervalle solution de la nouvelle inéquation sont positifs. La fonction \(\displaystyle{ln}\) étant strictement croissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) :

\(\displaystyle{\ln\left(\left] 1;3 \right[\right)=\left] \ln\left(1\right);\ln\left(3\right) \right[=\left] 0;ln3 \right[}\)

L'ensemble des solutions de l'inéquation de départ est donc :

\(\displaystyle{S = \left]0; ln3\right[}\)

Méthode 4

En cas d'inéquation produit ou quotient

Pour résoudre une inéquation produit ou quotient, on étudie le signe du produit ou du quotient. Pour cela, on dresse un tableau de signes, sachant que dans ce cas, les expressions intermédiaires comportent des exponentielles.

Résoudre dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) l'inéquation suivante :

\(\displaystyle{\dfrac{e^{3x-1}-3}{e^x-1} \gt 0}\)

Etape 1

Déterminer le produit / quotient dont on doit étudier le signe

On se ramène à une inéquation du type :

  • \(\displaystyle{A \times B \gt 0}\) ou \(\displaystyle{A \times B \lt 0}\)
  • \(\displaystyle{\dfrac{A}{B} \gt 0}\) ou \(\displaystyle{\dfrac{A}{B} \lt 0}\)

En cas de quotient, on détermine au préalable le ou les valeur(s) interdite(s).

On commence par déterminer les valeurs interdites de l'inéquation. Le dénominateur ne peut pas s'annuler. Pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^x-1 = 0 }\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow e^x= 1}\)

\(\displaystyle{\Leftrightarrow x=0}\)

Donc l'inéquation n'est pas définie en \(\displaystyle{x=0}\).

Tous les termes sont du même côté de l'inégalité. On étudie donc le signe de \(\displaystyle{\dfrac{e^{3x-1}-3}{e^x-1}}\) pour résoudre l'inéquation.

Etape 2

Déterminer le signe de chaque facteur

Afin de déterminer le signe du produit ou quotient, on détermine le signe de chaque facteur séparément.

On étudie d'abord le signe de chaque facteur :

  • \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R} }\), \(\displaystyle{e^x-1 \gt 0 \Leftrightarrow e^x \gt 1 \Leftrightarrow x \gt 0}\)
  • \(\displaystyle{\forall x \in\mathbb{R} }\), \(\displaystyle{e^{3x-1}-3 \gt 0 \Leftrightarrow e^{3x-1} \gt 3 \Leftrightarrow 3x-1\gt \ln 3 \Leftrightarrow x\gt \dfrac{1+\ln 3 }{3}}\)
Etape 3

Dresser un tableau de signes

On dresse un tableau de signes afin de déterminer le signe du produit ou du quotient.

On dresse ensuite le tableau de signes et on signifie par une double barre que \(\displaystyle{x=0}\) est une valeur interdite.

-
Etape 4

Conclure sur les solutions de l'inéquation

On choisit dans le tableau de signes le ou les intervalle(s) sur le(s)quel(s) l'inégalité est vérifiée.

L'inégalité est vérifiée lorsque \(\displaystyle{\dfrac{e^{3x-1}-3}{e^x-1} \gt 0}\). Donc, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

\(\displaystyle{S = \left]-\infty; 0 \right[ \cup\left] \dfrac{1+ln3}{3} ; +\infty\right[}\)

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