Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Résoudre une équation avec la fonction logarithme

Méthode 1

Si l'équation est du type ln(u(x))=ln(v(x))

Une équation du type ln(u(x))=ln(v(x)) est résolue en faisant disparaître les logarithmes.

Résoudre sur l'équation suivante :

ln(2x1)=ln(1x)

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de l'équation

On détermine le domaine de définition de chaque logarithme pour obtenir le domaine de définition de l'équation.

L'équation existe si et seulement si les deux conditions suivantes sont vérifiées :

2x1>01x>0

Soit :

x>12x<1

Le domaine de définition de l'équation est donc : ]12;1[.

Etape 2

Faire disparaître les logarithmes

On sait que :

ln(u(x))=ln(v(x))u(x)=v(x)

On a :

x]12;1[, ln(2x1)=ln(1x)2x1=1x

Etape 3

Résoudre la nouvelle équation

On résout l'équation obtenue.

Or, on a, pour tout réel x :

2x1=1x

3x=2

x=23

Etape 4

Sélectionner les solutions incluses dans le domaine de définition

On ne sélectionne enfin que les solutions incluses dans le domaine de définition.

On a bien 23]12;1[. Finalement, l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S={23}

Méthode 2

Si l'équation est du type ln(u(x))=k

Afin de résoudre une équation du type ln(u(x))=k, on utilise la fonction exponentielle.

Résoudre sur l'équation suivante :

ln(3x4)=3

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de l'équation

On détermine le domaine de définition de chaque logarithme pour obtenir le domaine de définition de l'équation.

L'équation existe si et seulement si :

3x4>0x>43

Le domaine de définition de l'équation est donc : ]43;+[.

Etape 2

Utiliser la fonction l'exponentielle pour faire disparaître le logarithme.

On sait que :

ln(u(x))=ku(x)=ek

On sait que :

x]43;+[, ln(3x4)=33x4=e3

Etape 3

Résoudre la nouvelle équation

On résout l'équation obtenue.

Or, on a, pour tout réel x :

3x4=e3

3x=e3+4

x=e3+43

Etape 4

Sélectionner les solutions incluses dans le domaine de définition

On ne sélectionne enfin que les solutions incluses dans le domaine de définition.

On a bien e3+43]43;+[. Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S={e3+43}

Méthode 3

Si l'équation est du type a(ln(x))2+bln(x)+c=0

Afin de résoudre une équation du type a(ln(x))2+bln(x)+c=0, on introduit le changement de variable X=ln(x) pour se ramener à une équation du second degré.

Résoudre sur l'équation suivante :

(ln(x))2+2ln(x)8=0

Etape 1

Poser X=ln(x)

On pose la nouvelle variable X=ln(x).

On pose X=ln(x).

Etape 2

Résoudre la nouvelle équation

On obtient une nouvelle équation de la forme aX2+bX+c=0. On résout cette équation.

L'équation devient :

X2+2X8=0

On reconnaît la forme d'une équation du second degré, dont on peut déterminer les racines à l'aide du discriminant :

Δ=b24ac

Δ=224×1×(8)

Δ=36

Δ>0, donc l'équation X2+2X8=0 admet deux solutions :

  • X1=bΔ2a=2362×1=4
  • X2=b+Δ2a=2+362×1=2

Il arrive parfois que l'équation ne soit pas de la forme aX2+bX+C=0.

Quand c'est le cas, il faut se ramener à cette forme.

L'équation aX+b+cX=0 n'est pas un trinôme du second degré. Pour tout réel X non nul :

aX+b+cX=0X(aX+b+cX)=0aX2+bX+c=0

Etape 3

Appliquer l'exponentielle aux solutions pour revenir à la variable initiale

On exprime la variable initiale en fonction de la nouvelle variable : x=eX.

Ainsi, pour chaque solution Xi, liée à la nouvelle variable, on détermine la solution correspondante liée à la variable initiale : xi=eXi.

On a X1=4 et X2=2.

On procède au changement de variable inverse en posant x=eX.

On en déduit que :

  • x1=e4
  • x2=e2

Finalement, l'ensemble des solutions de l'équation est :

S={e4;e2}

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