Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Montrer qu'un vecteur est normal à un plan

Un vecteur n est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

On considère un plan trois points A, B et C non alignés tels que :

A(1;0;4), B(3;3;8) et C(3;1;4)

Déterminer si le vecteur n10121 est normal au plan(ABC).

Etape 1

Rappeler la définition

On rappelle qu'un vecteur n est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Le vecteur n est normal au plan (ABC) si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Etape 2

Déterminer deux vecteurs non colinéaires du plan

On détermine deux vecteurs u et v non colinéaires du plan P.

Les points A, B et C n'étant pas alignés, on peut utiliser les vecteurs AB et AC. On détermine leurs coordonnées :

  • ABxBxAyByAzBzA soit AB313084 donc AB434
  • ACxCxAyCyAzCzA soit AC311044 donc AC218
Etape 3

Calculer les produits scalaires

On calcule les produits scalaires n.u et n.v.

On calcule les produits scalaires n.AB et n.AC. :

  • n.AB=10×(4)+12×3+1×4=40+36+4=0
  • n.AC=10×2+12×(1)+1×(8)=20128=0
Etape 4

Conclure

Si on obtient n.u=0 et n.v=0, alors n est un vecteur normal au plan.

On obtient :

  • n.AB=0
  • n.AC=0

Donc le vecteur n est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC). On en conclut que n est un vecteur normal au plan.

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