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Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue

Difficulté
5-10 MIN
6 / 8

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) solutions de l'équation :

\(\displaystyle{\left(E\right) : 13x-10y= 1}\)

On sait que le couple \(\displaystyle{\left(7;9\right)}\) est solution de l'équation.

1

Démontrer que si le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\)est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\), alors on a : \(\displaystyle{13\left(x-7\right) = 10\left(y-9\right)}\).

2

En déduire que si le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right) }\) est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) alors il existe un entier k tel que :

\(\displaystyle{x =7+10k}\) et \(\displaystyle{ y=9+13k}\).

3

Quel est l'ensemble des couples solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) ?

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