Terminale S 2016-2017

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Les intégrales

I

Aires et intégrales

Soit un repère orthogonal \(\displaystyle{\left(O ; I ; J\right)}\).
On appelle unité d'aire l'aire du rectangle \(\displaystyle{OIAJ}\), où A est le point de coordonnées \(\displaystyle{\left( 1;1 \right)}\).

-
A

Intégrale d'une fonction continue positive

Intégrale d'une fonction continue positive

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction continue et positive sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et \(\displaystyle{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe \(\displaystyle{C}\), l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-

Les réels a et b sont appelés bornes d'intégration.

B

Intégrale d'une fonction continue négative

Intégrale d'une fonction continue négative

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction continue et négative sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et \(\displaystyle{C}\) sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\) de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à l'opposé de l'aire (en unités d'aire) de la partie du plan délimitée par la courbe \(\displaystyle{C}\), l'axe des abscisses, et les droites d'équation \(\displaystyle{x = a}\) et \(\displaystyle{x = b}\).

-
C

Intégrale d'une fonction continue

Intégrale d'une fonction continue

Soit f une fonction continue sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\), et C sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
L'intégrale \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx}\) de la fonction f sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à la différence entre la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe représentative de f et l'axe des abscisses lorsque f est positive, et la somme des aires des surfaces comprises entre la courbe et l'axe des abscisses lorsque f est négative.
Les surfaces utilisées sont comprises entre les abscisses a et b, et les aires sont exprimées en unités d'aires.

-

Sur le schéma ci-dessus, on a :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx=A_1-A_2}\)

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soient a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\). Alors, on pose :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = -\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Aire entre deux courbes

Soient f et g deux fonctions continues sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) avec \(\displaystyle{f\gt g}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\). L'aire située entre les courbes de f et g sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\) est égale à :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right) \ \mathrm dx}\)

Soient f et g deux fonctions continues et définies sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-8}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^2-3x+1}\).

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)=7x-8-\left(x^2-3x+1\right)}\)

\(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)=-x^2+10x-9}\)

On détermine le signe de ce trinôme du second degré.

\(\displaystyle{\Delta=10^2-4\times \left(-1\right)\times\left(-9\right)=100-36=64=8^2}\)

Le trinôme est donc du signe de a (négatif) à l'extérieur des racines, et positif à l'intérieur des racines. On calcule les racines \(\displaystyle{x_1}\) et \(\displaystyle{x_2}\) :

  • \(\displaystyle{x_1=\dfrac{-10-8}{-2}=9}\)
  • \(\displaystyle{x_2=\dfrac{-10+8}{-2}=1}\)

Ainsi, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[ 1;9 \right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0}\). En particulier, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right)-g\left(x\right)\geqslant0}\). Ainsi, pour tout réel x appartenant à \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) \geqslant g\left(x\right)}\).

L'aire entre les courbes représentatives de f et g sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[1;2\right]}\) est donc donnée par l'intégrale suivante :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2}\left( f\left(x\right)-g\left(x\right) \right)\ \mathrm dx=\int_{1}^{2}\left( -x^2+10x-9 \right)\ \mathrm dx}\)

D

La valeur moyenne d'une fonction

Valeur moyenne d'une fonction

On appelle valeur moyenne de \(\displaystyle{f}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right] \left(a \lt b\right)}\) le réel :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Considérons la fonction f continue et définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-2}\). Sa valeur moyenne sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[2;5\right]}\) est donnée par le nombre :

\(\displaystyle{\dfrac{1}{5-2}\int_{2}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx=\dfrac13\int_{2}^{5} \left(7x-2\right) \ \mathrm dx}\)

II

Les propriétés de l'intégrale

A

Les propriétés algébriques

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a et b deux réels de I, et k un réel quelconque.

\(\displaystyle{\int_{a}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)

\(\displaystyle{\int_{b}^{a} f\left(x\right) \ \mathrm dx = - \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} kf\left(x\right) \ \mathrm dx = k \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{5}^{5} 3x^8 \ \mathrm dx=0}\)

\(\displaystyle{\int_{4}^{1} e^x\ \mathrm dx=-\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{4} 5e^x\ \mathrm dx=5\int_{1}^{4} e^x \ \mathrm dx}\)

Relation de Chasles :

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I.

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx = \int_{a}^{c} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \int_{c}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{25} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx+\int_{25}^{100} \ln\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

Linéarité de l'intégrale :

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I. a, b et c sont trois réels de I, et \(\displaystyle{\alpha}\) et \(\displaystyle{\beta}\) deux réels quelconques.

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} \left(\alpha f\left(x\right) + \beta g\left(x\right)\right) \ \mathrm dx = \alpha \int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx + \beta \int_{a}^{b} g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{3} \dfrac{3x^5+2x}{x+1} \ \mathrm dx=\int_{1}^{3} \left[ \dfrac{3x^5}{x+1}+\dfrac{2x}{x+1} \right] \ \mathrm dx=3\int_{1}^{3} \dfrac{x^5}{x+1} \ \mathrm dx+2\int_{1}^{3} \dfrac{x}{x+1} \ \mathrm dx}\)

B

Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction paire et continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) de \(\displaystyle{I}\) tel que \(\displaystyle{- a}\) appartient à \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 2\int_{0}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^2}\) est paire donc :

\(\displaystyle{\int_{-6}^{6} x^2 \ \mathrm dx=2\int_{0}^{6} x^2 \ \mathrm dx}\)

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction impaire et continue sur un intervalle \(\displaystyle{I}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) de \(\displaystyle{I}\) tel que \(\displaystyle{- a}\) appartient à \(\displaystyle{I}\) :

\(\displaystyle{\int_{-a}^{a}f\left(x\right) \ \mathrm dx = 0}\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto x^3}\) est impaire donc :

\(\displaystyle{\int_{-6}^{6} x^3 \ \mathrm dx=0}\)

Si \(\displaystyle{f}\) est une fonction périodique de période \(\displaystyle{T}\) et continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), alors pour tout réel \(\displaystyle{a}\) :

\(\displaystyle{\int_{0}^{T}f\left(x\right) \ \mathrm dx =\int_{a}^{a+T}f\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

-

La fonction \(\displaystyle{x\longmapsto \cos\left(x\right)}\) est \(\displaystyle{2\pi}\) -périodique, donc :

\(\displaystyle{\int_{0}^{2\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx=\int_{\pi}^{3\pi} \cos\left(x\right) \ \mathrm dx}\)

C

Ordre et intégration

Positivité de l'intégrale :

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\).

Si \(\displaystyle{f\left(x\right) \geq 0}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \geq 0}\)

La fonction \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2+1}\) est positive et continue sur l'intervalle \(\displaystyle{\left[3;5\right]}\), donc :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} \left(x^2+1\right)\ \mathrm dx\geq0}\)

Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a \leq b}\).

Si \(\displaystyle{f\left(x\right) \leq g\left(x\right)}\) sur \(\displaystyle{\left[a ; b\right]}\), alors \(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(x\right) \ \mathrm dx \leq \int_{a}^{b}g\left(x\right) \ \mathrm dx }\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[3;5\right]}\), \(\displaystyle{e^x\geq x}\). Ces deux fonctions étant continues sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) :

\(\displaystyle{\int_{3}^{5} e^x \ \mathrm dx\geq\int_{3}^{5} x \ \mathrm dx}\)

Inégalité de la moyenne

Soient f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I tels que \(\displaystyle{a\lt b}\). Soient m et M deux réels tels que \(\displaystyle{m\leqslant f\left(x\right)\leqslant M}\) sur I. Alors :

\(\displaystyle{m\left(b-a\right)\leq\int_{a}^{b} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq M\left(b-a\right)}\)

Pour tout réel \(\displaystyle{x\in \left[3;5\right]}\), \(\displaystyle{20\leq e^x \leq149}\) donc :

\(\displaystyle{20\left(5-3\right)\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 149\left(5-3\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{40\leq\int_{3}^{5} f\left(x\right) \ \mathrm dx\leq 298}\)

III

Primitives et intégrales

A

Relation entre primitives et intégrales

Intégrale

Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de f sur I, a et b deux réels de I :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b}f\left(t\right) \ \mathrm dt = F\left(b\right) - F\left(a\right)}\)

Soit f la fonction continue, et définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3x+1}\). F est définie pour tout réel x par \(\displaystyle{F\left(x\right)=\dfrac32x^2+x}\). Soit F une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On a :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx=F\left(2\right)-F\left(1\right)=\left( \dfrac32\times2^2+2 \right)-\left( \dfrac32\times1^2+1 \right)=\dfrac{11}{2}}\)

\(\displaystyle{F\left(b\right) - F\left(a\right)}\) se note aussi \(\displaystyle{ \left[F\left(x\right)\right]_{a}^{b}}\)

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} x \ \mathrm dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_{1}^{2} = \dfrac{2^2}{2} - \dfrac{1^2}{2} = \dfrac{4}{2} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}}\)
B

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Primitive qui s'annule en \(\displaystyle{a}\)

Soit f une fonction continue sur I, et a un réel de I. La fonction F définie ci-après pour tout x de I est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en a :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{a}^{x}f\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

Soit f une fonction continue sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+1}\). La fonction F définie ci-après est l'unique primitive de f sur I qui s'annule en 0 :

\(\displaystyle{F\left(x\right) =\int_{0}^{x}\left(2t+1\right) \ \mathrm dt=\left[ t^2+t \right]_0^x=\left(x^2+x\right)-\left(0^2+0\right)=x^2+x}\)