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Etudier le sens de variation d'une suite définie par une intégrale

Méthode 1

Si n est dans la fonction mais pas dans les bornes

L'énoncé peut définir une suite d'intégrale \(\displaystyle{\left( I_n \right)}\) et demander la monotonie de cette suite. Dans ce cas, la méthode à adopter dépend de la place de n dans l'intégrale. S'il se trouve uniquement dans la fonction sous l'intégrale et non dans les bornes de l'intégrale, on peut adopter la méthode suivante.

Soit \(\displaystyle{\left( I_n \right)}\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}, I_n=\int_{0}^{1} e^{nx^2} \ \mathrm dx}\)

Déterminer la monotonie de cette suite.

Etape 1

Écrire \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\)

On commence par écrire la différence \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\) sous la forme d'une différence de deux intégrales.

Pour tout entier naturel n, on a :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} e^{\left(n+1\right)x^2} \ \mathrm dx-\int_{0}^{1} e^{nx^2} \ \mathrm dx}\)

Etape 2

Utiliser la linéarité de l'intégrale

Les deux intégrales \(\displaystyle{I_{n+1}}\) et \(\displaystyle{I_n}\) ayant les mêmes bornes, on peut utiliser la linéarité de l'intégration pour exprimer la différence \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\) sous la forme d'une unique intégrale.

Par linéarité de l'intégration, on a alors :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \left(e^{\left(n+1\right)x^2}-e^{nx^2}\right) \ \mathrm dx}\)

Etape 3

Factoriser l'intérieur de l'intégrale

On factorise l'expression de la fonction située sous l'intégrale dans la différence \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\), de manière à pouvoir déterminer facilement le signe de cette fonction.

Il arrive que l'on puisse directement déterminer le signe de cette fonction sans avoir à factoriser.

On a donc :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1} \left(e^{nx^2}\times e^{x^2}-e^{nx^2}\right) \ \mathrm dx}\)

On factorise par \(\displaystyle{e^{nx^2}}\) :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_n=\int_{0}^{1}e^{nx^2} \left(e^{x^2}-1\right) \ \mathrm dx}\)

Etape 4

Déterminer le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale

On détermine le signe de la fonction sous l'intégrale définissant \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\). Ce signe doit être constant sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale pour pouvoir conclure.

Pour tout réel x compris entre 0 et 1 :

  • \(\displaystyle{x^2\geqslant 0}\) donc \(\displaystyle{e^{x^2}\geqslant 1}\) (car la fonction exponentielle est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) ). Ainsi, \(\displaystyle{e^{x^2}-1\geqslant 0}\).
  • \(\displaystyle{e^{nx^2}\geqslant 0}\)

Par produit, on peut donc en conclure :

\(\displaystyle{\forall x\in\left[ 0;1 \right],\ e^{nx^2}\left( e^{x^2}-1 \right)\geqslant 0}\)

Etape 5

En conclure le signe de l'intégrale

En utilisant la positivité de l'intégration, on peut en déduire :

  • Si la fonction est positive, l'intégrale est positive et donc \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\) est positif.
  • Si la fonction est négative, l'intégrale est négative et donc \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\) est négatif.

Par positivité de l'intégration, on a :

\(\displaystyle{\int_{0}^{1} e^{nx^2}\left( e^{x^2}-1 \right) \ \mathrm dx\geqslant 0}\)

Donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0}\)

Etape 6

Donner les variations de la suite

  • Si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}\geqslant0}\), on en déduit que la suite est croissante.
  • Si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}\leqslant0}\), on en déduit que la suite est décroissante.

On en conclut que la suite \(\displaystyle{\left( I_n \right)}\) est croissante.

Méthode 2

Lorsque n est dans les bornes de l'intégrale

Si n se trouve uniquement dans une des deux bornes de l'intégrale et non dans la fonction sous l'intégrale, on peut adopter la méthode suivante.

Soit \(\displaystyle{\left( I_n \right)}\) la suite définie par :

\(\displaystyle{\forall n \in \mathbb{N}, I_n=\int_{0}^{n^2} xe^{-x} \ \mathrm dx}\)

Déterminer la monotonie de cette suite.

Etape 1

Écrire \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\)

On commence par écrire la différence \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\) sous la forme d'une différence de deux intégrales, et ce pour un entier n entier quelconque fixé.

Soit n un entier naturel. On a :

\(\displaystyle{I_{n+1}- I_n=\int_{0}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx-\int_{0}^{n^2} xe^{-x} \ \mathrm dx}\)

Etape 2

Utiliser la relation de Chasles

On utilise ensuite la relation de Chasles pour exprimer la différence \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\) sous la forme d'une unique intégrale.

D'après la relation de Chasles et comme \(\displaystyle{n^2\leqslant \left( n+1 \right)^2}\), on a :

\(\displaystyle{\int_{0}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx=\int_{0}^{n^2} xe^{-x} \ \mathrm dx+\int_{n^2}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx}\)

Donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{I_{n+1}- I_n=\int_{0}^{n^2} xe^{-x} \ \mathrm dx+\int_{n^2}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx-\int_{0}^{n^2} xe^{-x} \ \mathrm dx}\)

\(\displaystyle{I_{n+1}- I_n=\int_{n^2}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx}\)

Etape 3

Déterminer le signe de la fonction à l'intérieur de l'intégrale

On détermine alors le signe de la fonction qui est sous l'intégrale grâce aux méthodes usuelles. Ce signe doit être constant sur l'intervalle formé par les bornes de l'intégrale pour pouvoir conclure.

Pour tout réel x positif, on a :

  • \(\displaystyle{x\geqslant0}\)
  • \(\displaystyle{e^{-x}\geqslant0}\)

Par produit, on a donc, pour tout réel x positif :

\(\displaystyle{xe^{-x}\geqslant0}\)

Etape 4

En déduire le signe de l'intégrale et donc celui de \(\displaystyle{I_{n+1}-I_n}\)

En utilisant la positivité de l'intégration, on peut en déduire :

  • Si la fonction est positive sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est positive et donc \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\) est positif.
  • Si la fonction est négative sur l'intervalle d'intégration, l'intégrale est négative et donc \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}}\) est négatif.

Par positivité de l'intégration, comme la fonction sous l'intégrale est positive sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\) et comme \(\displaystyle{n^{2}\leqslant\left( n+1 \right)^2}\), on a :

\(\displaystyle{\int_{n^2}^{\left( n+1 \right)^2} xe^{-x} \ \mathrm dx\geqslant 0}\)

Et donc, pour tout entier naturel n :

\(\displaystyle{I_{n+1}-I_n\geqslant 0}\)

Etape 5

Donner les variations de la suite

  • Si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}\geqslant 0}\), on en déduit que la suite est croissante.
  • Si, pour tout entier naturel n, \(\displaystyle{I_{n+1}-I_{n}\leqslant 0}\), on en déduit que la suite est décroissante.

On en conclut que la suite \(\displaystyle{\left(I_n\right)}\) est croissante.

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