Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote verticale en un réel a.

On considère la fonction f définie sur {2;3} par :

f(x)=x2+3x+4(x+2)(x3)

Déterminer les éventuelles asymptotes verticales de Cf.

Etape 1

Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition

Si Cf admet une asymptote verticale, c'est nécessairement en un réel a correspondant à une borne finie (c'est-à-dire réelle) et ouverte (c'est-à-dire exclue) du domaine de définition de f.

On liste donc tous les réels a vérifiant cette condition.

Si la fonction est sous la forme de quotient, il pourra y avoir des asymptotes verticales aux valeurs interdites.

On écrit le domaine de définition de f sous la forme d'une réunion d'intervalles :

Df=];2[]2;3[]3;+[

Les bornes finies ouvertes sont donc −2 et 3.

Etape 2

Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes

  • Si f n'est pas définie à gauche de ak, on détermine la limite à droite de f en ak : limxa+kf(x).
  • Si f n'est pas définie à droite de ak, on détermine la limite à gauche de f en ak : limxakf(x).
  • Si f est définie à gauche et à droite de ak, on détermine les limites à droite et à gauche de f en ak : limxa+kf(x) et limxakf(x).

On a :

  • limx2(x+2)=0
  • limx2+(x+2)=0+
  • limx2x2+3x+4x3=25

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • limx2f(x)=+
  • limx2+f(x)=

De même, on a :

  • limx3(x3)=0
  • limx3+(x3)=0+
  • limx3x2+3x+4x+2=225

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • limx3f(x)=
  • limx3+f(x)=+
Etape 3

Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales

On peut conclure que la droite d'équation x=ak est asymptote verticale à Cƒ dans les trois cas suivants :

  • Si f n'est pas définie à gauche de ak et limxa+kf(x)=+ ou limxa+kf(x)=
  • Si f n'est pas définie à droite de ak et limxakf(x)=+ ou limxakf(x)=
  • Si f est définie à gauche et à droite de ak et les limites de f à droite et à gauche de ak sont infinies (mais pas forcément égales).

f est définie à droite et à gauche de −2 et les limites à droite et à gauche de f en −2 sont infinies.

De même, f est définie à droite et à gauche de 3 et les limites à droite et à gauche de f en 3 sont infinies.

On peut donc conclure que les droites d'équation x=2 et x=3 sont asymptotes verticales à Cf.

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