Terminale S 2016-2017

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Démontrer qu'une courbe admet une asymptote verticale

La courbe représentative d'une fonction f peut admettre une asymptote verticale en un réel a.

On considère la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}\backslash\left\{ -2;3 \right\}}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{x^{2}+3x+4}{\left( x+2 \right)\left( x -3\right)}}\)

Déterminer les éventuelles asymptotes verticales de \(\displaystyle{C_{f}}\).

Etape 1

Repérer les bornes ouvertes finies du domaine de définition

Si \(\displaystyle{C_{f}}\) admet une asymptote verticale, c'est nécessairement en un réel a correspondant à une borne finie (c'est-à-dire réelle) et ouverte (c'est-à-dire exclue) du domaine de définition de f.

On liste donc tous les réels a vérifiant cette condition.

Si la fonction est sous la forme de quotient, il pourra y avoir des asymptotes verticales aux valeurs interdites.

On écrit le domaine de définition de f sous la forme d'une réunion d'intervalles :

\(\displaystyle{D_{f}= \left] -\infty;-2 \right[\cup\left] -2;3 \right[\cup\left] 3;+\infty \right[}\)

Les bornes finies ouvertes sont donc −2 et 3.

Etape 2

Déterminer la limite de f en chacune de ces bornes

  • Si f n'est pas définie à gauche de \(\displaystyle{a_k}\), on détermine la limite à droite de f en \(\displaystyle{a_k}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right)}\).
  • Si f n'est pas définie à droite de \(\displaystyle{a_k}\), on détermine la limite à gauche de f en \(\displaystyle{a_k}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right)}\).
  • Si f est définie à gauche et à droite de \(\displaystyle{a_k}\), on détermine les limites à droite et à gauche de f en \(\displaystyle{a_k}\) : \(\displaystyle{\lim_{x \to a_{k}^{+}}f\left( x \right)}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to a_{k}^{-}}f\left( x \right)}\).

On a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -2^{-}}\left(x+2\right)=0^{-}}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -2^{+}}\left(x+2\right)=0^{+}}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -2}\dfrac{x^2+3x+4}{x-3}=-\dfrac{2}{5}}\)

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -2^{-}}f\left(x\right)=+\infty}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to -2^{+}}f\left(x\right)=-\infty}\)

De même, on a :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{-}}\left(x-3\right)=0^{-}}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{+}}\left(x-3\right)=0^{+}}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 3}\dfrac{x^2+3x+4}{x+2}=\dfrac{22}{5}}\)

Par quotient, on peut donc en conclure :

  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{-}}f\left(x\right)=-\infty}\)
  • \(\displaystyle{\lim_{x \to 3^{+}}f\left(x\right)=+\infty}\)
Etape 3

Conclure sur l'existence d'asymptotes verticales

On peut conclure que la droite d'équation \(\displaystyle{x=a_{k}}\) est asymptote verticale à \(\displaystyle{C_{ƒ}}\) dans les trois cas suivants :

  • Si f n'est pas définie à gauche de \(\displaystyle{a_k}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=+\infty}\) ou \(\displaystyle{\lim_{x \to a_k^{+}}f\left(x\right)=-\infty}\)
  • Si f n'est pas définie à droite de \(\displaystyle{a_k}\) et \(\displaystyle{\lim_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=+\infty}\) ou \(\displaystyle{\lim_{x \to a_k^{-}}f\left(x\right)=-\infty}\)
  • Si f est définie à gauche et à droite de \(\displaystyle{a_k}\) et les limites de f à droite et à gauche de \(\displaystyle{a_k}\) sont infinies (mais pas forcément égales).

f est définie à droite et à gauche de −2 et les limites à droite et à gauche de f en −2 sont infinies.

De même, f est définie à droite et à gauche de 3 et les limites à droite et à gauche de f en 3 sont infinies.

On peut donc conclure que les droites d'équation \(\displaystyle{x=-2}\) et \(\displaystyle{x=3}\) sont asymptotes verticales à \(\displaystyle{C_{f}}\).