Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer par le calcul une matrice inverse

On peut déterminer l'inverse d'une matrice carrée M en la multipliant par une matrice carrée de même ordre à coefficients inconnus et résolvant un système d'équations obtenu.

Soit la matrice M=1132. Déterminer sa matrice inverse M'.

Etape 1

Vérifier que la matrice est carrée

On vérifie que la matrice est carrée, c'est-à-dire qu'elle a le même nombre de lignes que de colonnes.

La matrice M est carrée de dimension 2.

Etape 2

Poser une matrice de même dimension à coefficients indéterminés

On définit une matrice M' à coefficients indéterminés.

On pose M=acbd.

Etape 3

Poser MM=I

La matrice M' est inverse de la matrice M si et seulement si MM=I.

On pose donc le calcul et on en déduit un système d'équations.

On sait que MM=I.

Donc :

1132acbd=1001

D'où :

a+3ca+2cb+3db+2d=1001

On en déduit le système suivant :

a+3c=1b+3d=0a+2c=0b+2d=1

Etape 4

Résoudre

On résout le système d'équations.

On résout le système :

a+3c=1b+3d=0a+2c=0b+2d=1

a+3c=1b=3da=2cb+2d=1

2c+3c=1b=3da=2c3d+2d=1

c=1b=3da=2cd=1

c=1b=3a=2d=1

Etape 5

Conclure

On conclut en donnant M'.

On conclut que M est inversible et que sa matrice inverse vaut :

M=2131

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