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Les nombres complexes

I

La notion de nombre complexe

A

L'ensemble des nombres complexes

Nombre i

On admet qu'il existe un ensemble de nombres, noté \(\displaystyle{\mathbb{C}}\), qui contient l'ensemble des nombres réels \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), vérifiant les propriétés suivantes :

  • \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) contient un nombre i tel que \(\displaystyle{i^2=-1}\).
  • Tous les éléments de \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) s'écrivent sous la forme \(\displaystyle{a+ib}\)a et b sont des nombres réels.
  • \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) est muni de l'addition et de la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que dans l'ensemble des nombres réels.

Cet ensemble est appelé l'ensemble des nombres complexes.

Les opérations dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) obéissent aux mêmes règles de calcul que dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
B

La forme algébrique

Forme algébrique

L'écriture \(\displaystyle{z = x + iy}\) (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Le nombre complexe \(\displaystyle{z=12-4i}\) est écrit sous forme algébrique.

Parties réelle et imaginaire

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\), où x et y sont des réels :

  • On appelle partie réelle de z, notée \(\displaystyle{\text{Re}\left(z\right)}\), le réel x.
  • On appelle partie imaginaire de z, notée \(\displaystyle{\text{Im}\left(z\right)}\), le réel y.

Soit le nombre complexe \(\displaystyle{z=12-4i}\) :

  • La partie réelle du nombre \(\displaystyle{z}\) est : \(\displaystyle{Re\left(z\right)=12}\)
  • La partie imaginaire du nombre \(\displaystyle{z}\) est : \(\displaystyle{Im\left(z\right)=-4}\)

Nombres complexes égaux

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Le nombre \(\displaystyle{z}\) est réel si et seulement si \(\displaystyle{\text{Im}\left(z\right) = 0}\).
  • Le nombre \(\displaystyle{z}\) est imaginaire pur si et seulement si \(\displaystyle{\text{Re}\left(z\right) = 0}\).

Soit \(\displaystyle{z=-6}\). \(\displaystyle{Im\left(z\right)=0}\) et donc \(\displaystyle{z\in \mathbb{R}}\).

Soit \(\displaystyle{z=5i}\). \(\displaystyle{Re\left(z\right)=0}\) et donc z est un imaginaire pur.

On note \(\displaystyle{i\mathbb{R}}\) l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.

Inverse d'un nombre complexe

Soit z un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre complexe \(\displaystyle{z'}\) tel que \(\displaystyle{zz' = 1}\).
Ce nombre est l'inverse de \(\displaystyle{z}\), noté \(\displaystyle{\dfrac{1}{z}}\).

L'inverse de \(\displaystyle{i}\) est \(\displaystyle{-i}\) :

\(\displaystyle{i\times \left(-i\right)=-i^2=-\left(-1\right)=1}\)

C

Le conjugué et le module

1

Le conjugué

Conjugué

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\), où x et y sont des réels. On appelle conjugué de z, noté \(\displaystyle{\bar{z}}\), le complexe :

\(\displaystyle{\bar{z}=x - iy}\)

\(\displaystyle{\overline{2 - 2i} = 2 + 2i}\)

\(\displaystyle{\overline{4i} = -4i}\)

\(\displaystyle{\overline{2} = 2}\)

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes :

\(\displaystyle{\overline{\overline{z}} = z}\)

\(\displaystyle{\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}}\)

\(\displaystyle{\overline{zz'} = \overline{z} \overline{z'}}\)

Si \(\displaystyle{z'}\) est non nul :

\(\displaystyle{\overline{ \left(\dfrac{z}{z'} \right) } = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}}\)

Pour tout entier relatif n (avec z non nul si \(\displaystyle{n\leqslant 0}\) ) :

\(\displaystyle{\overline{z^n}= \left(\overline{z}\right)^{n}}\)

\(\displaystyle{\overline{\left(3+i\right)\left(5-8i\right)}=\overline{\left(3+i\right)}\times \overline{\left(5-8i\right)}=\left(3-i\right)\left(5+8i\right)=15+24i-5i+8=23+19i}\)

\(\displaystyle{\overline{\left( \dfrac{1-i}{1+i}\right)^2}=\overline{\left( \dfrac{1-i}{1+i}\right)}^2=\left( \dfrac{\overline{1-i}}{\overline{1+i}} \right)^2=\left( \dfrac{1+i}{1-i} \right)^2}\)

Soit z un nombre complexe.

\(\displaystyle{z + \overline{z} = 2 \text{Re}\left(z\right)}\)

\(\displaystyle{z - \overline{z} = 2i \text{ Im}\left(z\right)}\)

Soit z un nombre complexe.

  • z est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = \overline{z}}\)
  • z est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow z = - \overline{z}}\)
2

Le module

Module

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\), où x et y sont des réels. On appelle module de z, noté \(\displaystyle{|z|}\), le réel :

\(\displaystyle{\left| z \right|=\sqrt{x^{2} + y^{2}}}\)

\(\displaystyle{|1 + 2i| = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}}\)

\(\displaystyle{|-3i| = \sqrt{0^{2} + \left(-3\right)^{2}} = \sqrt{0 + 9} = \sqrt{9} = 3}\)

Ne pas confondre module et valeur absolue.

Soient \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{z'}\) deux nombres complexes. On a :

\(\displaystyle{z \overline{z} = |z|^{2}}\)

\(\displaystyle{|z| = |\overline{z}|}\)

\(\displaystyle{|z| = |- z|}\)

\(\displaystyle{|zz'| = |z| \times |z'|}\)

Si \(\displaystyle{z'}\) est non nul :

\(\displaystyle{\left|\dfrac{z}{z'}\right|=\dfrac{|z|}{|z'|}}\)

Pour tout entier relatif n (avec z non nul si \(\displaystyle{n\leqslant0}\) ) :

\(\displaystyle{|z^{n}| = |z|^{n}}\)

\(\displaystyle{\left| \left(3+i\right)\left(5-8i\right) \right| =\left| 3+i \right|\times \left| 5-8i \right|=\sqrt{10}\times \sqrt{89}=\sqrt{890}}\)

\(\displaystyle{\left| \dfrac{1-i}{1+i} \right|=\dfrac{\left| 1-i \right|}{\left| 1+i \right|}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt2}=1}\)

D

La représentation géométrique

Affixe

Soit un repère orthonormal direct du plan \(\displaystyle{\left(O ; \overrightarrow{u} ; \overrightarrow{v}\right)}\). À tout point M de coordonnées \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\), on associe le nombre complexe \(\displaystyle{z = x + iy}\) :

  • Le nombre complexe z est appelé affixe du point M (et du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{OM}}\) ).
  • Le point M est appelé image du nombre complexe z.

On définit ainsi le plan complexe.

-

Les points M et M', images respectives des nombres complexes \(\displaystyle{z}\) et \(\displaystyle{\overline{z}}\) dans le plan complexe, sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

-

Le module \(\displaystyle{|z|}\) du nombre complexe \(\displaystyle{z}\), affixe du point M, est égal à la distance OM.

-

Soit \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) un vecteur du plan de coordonnées \(\displaystyle{\left( a;b \right)}\). Alors le nombre complexe \(\displaystyle{z=a+ib}\) est appelé affixe du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\), et noté \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{u}}}\).

  • Si A et B sont des points du plan complexe d'affixes \(\displaystyle{z_A}\) et \(\displaystyle{z_B}\), alors \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{AB}}=z_B-z_A}\).
  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont des vecteurs d'affixes \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{u}}}\) et \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{v}}}\), le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}}\) a pour affixe \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{u}}+z_{\overrightarrow{v}}}\).
  • Si \(\displaystyle{\overrightarrow{u}}\) est un vecteur d'affixe \(\displaystyle{z_{\overrightarrow{u}}}\) et k est un réel, alors le vecteur \(\displaystyle{k\overrightarrow{u}}\) a pour affixe \(\displaystyle{kz_{\overrightarrow{u}}}\).
II

Les équations dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

A

Résoudre une équation dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

On résout une équation dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) à l'aide des mêmes techniques de calcul que dans \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).
B

Les équations du second degré dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\)

Racines complexes

Soit un trinôme du second degré à coefficients réels (\(\displaystyle{a \neq 0}\)) \(\displaystyle{az^{2} + bz + c}\), de discriminant \(\displaystyle{\Delta \lt 0}\). Ce trinôme admet deux racines complexes conjuguées :

\(\displaystyle{z_{1} =\dfrac{-b-i\sqrt{-\Delta }}{2a}}\)

\(\displaystyle{z_{2} =\dfrac{-b+i\sqrt{-\Delta }}{2a}}\)

Résolvons dans \(\displaystyle{\mathbb{C}}\) l'équation suivante : \(\displaystyle{3z^2+z+8=0}\).

\(\displaystyle{\Delta=1^2-4\times3\times8=-95\lt0}\).

L'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

  • \(\displaystyle{z_1=\dfrac{-1-i\sqrt{95}}{6}}\)
  • \(\displaystyle{z_2=\dfrac{-1+i\sqrt{95}}{6}}\)

Si le trinôme du second degré a un discriminant \(\displaystyle{\Delta \geqslant0}\), alors on retombe sur une équation du second degré classique.

III

Les formes trigonométrique et exponentielle

A

Forme trigonométrique

Argument

Soit z un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z du plan complexe. On appelle argument de z, noté \(\displaystyle{\arg\left(z\right)}\), une mesure en radians de l'angle orienté \(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right)}\) :

\(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{OM}\right) \left[2\pi \right]}\)

-

Forme trigonométrique

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous forme trigonométrique :

\(\displaystyle{z = |z| \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\)

Réciproquement, si \(\displaystyle{z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :

\(\displaystyle{|z| = r}\)

\(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \theta\left[ 2\pi \right]}\)

Le nombre complexe \(\displaystyle{z=3\left(\cos\left( \dfrac{\pi}{3} \right)+i\sin\left( \dfrac{\pi}{3} \right)\right)}\) est le nombre complexe de module 3 et dont un argument est \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{3}}\).

Soit \(\displaystyle{z=x+iy}\) (où x et y sont des réels) un nombre complexe non nul. Soit \(\displaystyle{z = r \left(\cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)\right)}\) une forme trigonométrique de z. Alors :

  • \(\displaystyle{\cos\left(\theta\right)=\dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)
  • \(\displaystyle{\sin\left(\theta\right)=\dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}}\)

Nombres égaux

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même module et même argument modulo \(\displaystyle{2\pi}\).

Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.

\(\displaystyle{\arg\left(zz'\right) = \arg\left(z\right) + \arg\left(z'\right)\left[ 2\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{1}{z}\right) = - \arg\left(z\right)\left[ 2\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right) = \arg\left(z\right) - \arg\left(z'\right)\left[ 2\pi \right]}\)

Pour tout entier relatif n :

\(\displaystyle{\arg\left(z^{n}\right) = n \arg\left(z\right)\left[ 2\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\arg\left( \left(3+2i\right)\left(5-i\right) \right)=\arg\left(3+2i\right)+\arg\left(5-i\right)\left[ 2\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\arg\left( \dfrac{18-6i}{39i}\right)=\arg\left(18-6i\right)-\arg\left(39i\right)\left[ 2\pi \right]}\)

\(\displaystyle{\arg\left(\left(4i+8 \right)^5\right)=5\arg\left(4i+8\right)\left[ 2\pi \right]}\)

Soit z un nombre complexe non nul :

  • z est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = \pi \left[2\pi \right]}\)
  • z est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\) ou \(\displaystyle{\arg\left(z\right) = -\dfrac{\pi }{2}\left[2\pi \right]}\)

Autrement dit, si z est un nombre complexe non nul :

  • z est réel \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = 0 \left[\pi \right]}\)
  • z est imaginaire pur \(\displaystyle{\Leftrightarrow \arg\left(z\right) = \dfrac{\pi }{2}\left[\pi \right]}\)
B

Forme exponentielle

Exponentielle complexe

Pour tout réel \(\displaystyle{\theta}\), on pose :

\(\displaystyle{e^{i\theta} = \cos\left(\theta\right) + i\sin\left(\theta\right)}\)

\(\displaystyle{e^{i\frac{\pi}{6}}=\cos\left( \dfrac{\pi}{6}\right)+i\sin\left( \dfrac{\pi}{6} \right)}\)

Attention, une exponentielle complexe peut être négative.

\(\displaystyle{e^{i\pi } = -1}\)

Forme exponentielle

Soit un nombre complexe \(\displaystyle{z}\) non nul d'argument \(\displaystyle{\theta}\). On peut alors exprimer \(\displaystyle{z}\) sous forme exponentielle :

\(\displaystyle{z = |z| e^{i\theta}}\)

Réciproquement, si \(\displaystyle{z = re^{i\theta}}\), avec \(\displaystyle{r \gt 0}\) et \(\displaystyle{\theta}\) réel quelconque, alors :

\(\displaystyle{|z| = r}\)

\(\displaystyle{arg\left(z\right) = \theta\left[ 2\pi \right]}\)

Le nombre complexe \(\displaystyle{z=5e^{i\frac{\pi}{4}}}\) est le nombre complexe de module 5 et dont un des arguments est \(\displaystyle{\dfrac{\pi}{4}}\).

Soient \(\displaystyle{\theta}\) et \(\displaystyle{\theta'}\) deux réels. On a :

\(\displaystyle{\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}}\)

\(\displaystyle{e^{i\left(\theta+\theta'\right)} = e^{i\theta} e^{i\theta'}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1}{e^{i\theta}}= e^{-i\theta}}\)

Pour tout entier relatif n :

\(\displaystyle{\left(e^{i\theta}\right)^{n} = e^{in\theta}}\)

\(\displaystyle{\overline{e^{i\frac{\pi}{3}}}=e^{-i\frac{\pi}{3}}}\)

\(\displaystyle{e^{i\frac{\pi}{4}}\times e^{i\frac{\pi}{3}}=e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}\right)}=e^{i\frac{7\pi}{12}}}\)

C

Interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{AB = |z_{B} - z_{A}|}\)

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_A=1+2i}\) et \(\displaystyle{z_B=5+i}\).

\(\displaystyle{AB=\left| z_B-z_A \right|=\left| 5+i-1-2i \right|=\left|4-i \right|=\sqrt{17}}\)

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\) et \(\displaystyle{z_{B}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{u} ; \overrightarrow{AB}\right) = \arg\left(z_{B} - z_{A}\right)\left[ 2\pi \right]}\)

Soient A et B deux points d'affixes respectives \(\displaystyle{z_A=4+2i}\) et \(\displaystyle{z_B=5+i}\).

\(\displaystyle{\left( \overrightarrow{u};\overrightarrow{AB} \right)=\arg\left(z_B-z_A\right)\left[ 2\pi \right]=\arg\left(5+i-4-2i\right)\left[ 2\pi \right]=\arg\left(1-i\right)\left[ 2\pi \right]=-\dfrac{\pi}{4}\left[2\pi\right]}\)

Argument d'un quotient

Soient \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{1}}}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v_{2}}}\) deux vecteurs non nuls d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{1}}\) et \(\displaystyle{z_{2}}\) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{v_{1}} ; \overrightarrow{v_{2}}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{2}}{z_{1}}\right)\left[ 2\pi \right]}\)

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives \(\displaystyle{z_{A}}\), \(\displaystyle{z_{B}}\) et \(\displaystyle{z_{C}}\) (avec \(\displaystyle{z_A\neq z_B}\) ) :

\(\displaystyle{\left(\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}\right) = \arg\left(\dfrac{z_{C} - z_{A}}{z_{B} - z_{A}}\right)\left[ 2\pi \right]}\)

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