Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Les nombres complexes

I

La notion de nombre complexe

A

L'ensemble des nombres complexes

Nombre i

On admet qu'il existe un ensemble de nombres, noté , qui contient l'ensemble des nombres réels , vérifiant les propriétés suivantes :

  • contient un nombre i tel que i2=1.
  • Tous les éléments de s'écrivent sous la forme a+iba et b sont des nombres réels.
  • est muni de l'addition et de la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que dans l'ensemble des nombres réels.

Cet ensemble est appelé l'ensemble des nombres complexes.

Les opérations dans obéissent aux mêmes règles de calcul que dans .
B

La forme algébrique

Forme algébrique

L'écriture z=x+iy (où x et y sont des réels) est appelée forme algébrique de z. Elle est unique.

Le nombre complexe z=124i est écrit sous forme algébrique.

Parties réelle et imaginaire

Soit un nombre complexe z=x+iy, où x et y sont des réels :

  • On appelle partie réelle de z, notée Re(z), le réel x.
  • On appelle partie imaginaire de z, notée Im(z), le réel y.

Soit le nombre complexe z=124i :

  • Re(z)=12
  • Im(z)=4

Nombres complexes égaux

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire.

  • Le nombre z est réel si et seulement si Im(z)=0.
  • Le nombre z est imaginaire pur si et seulement si Re(z)=0.

Soit z=6. Im(z)=0 et donc z.

Soit z=5i. Re(z)=0 et donc z est un imaginaire pur.

On note i l'ensemble des nombres complexes imaginaires purs.

Inverse d'un nombre complexe

Soit z un nombre complexe non nul. Il existe un unique nombre complexe z tel que zz=1.
Ce nombre est l'inverse de z, noté 1z.

L'inverse de i est i :

i×(i)=i2=(1)=1

C

Le conjugué et le module

1

Le conjugué

Conjugué

Soit un nombre complexe z=x+iy, où x et y sont des réels. On appelle conjugué de z, noté z, le complexe :

z=xiy

22i=2+2i

4i=4i

2=2

Soient z et z deux nombres complexes :

z=z

z+z=z+z

zz=zz

Si z est non nul :

(zz)=zz

Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n0 ) :

zn=(z)n

(3+i)(58i)=(3+i)×(58i)=(3i)(5+8i)=15+24i5i+8=23+19i

(1i1+i)2=(1i1+i)2=(1i1+i)2=(1+i1i)2

Soit z un nombre complexe.

z+z=2Re(z)

zz=2i Im(z)

Soit z un nombre complexe.

  • z est réel z=z
  • z est imaginaire pur z=z
2

Le module

Module

Soit un nombre complexe z=x+iy, où x et y sont des réels. On appelle module de z, noté |z|, le réel :

||z||=x2+y2

|1+2i|=12+22=1+4=5

|3i|=02+(3)2=0+9=9=3

Ne pas confondre module et valeur absolue.

Soient z et z deux nombres complexes. On a :

zz=|z|2

|z|=|z|

|z|=|z|

|zz|=|z|×|z|

Si z est non nul :

||||zz||||=|z||z|

Pour tout entier relatif n (avec z non nul si n0 ) :

|zn|=|z|n

||(3+i)(58i)||=||3+i||×||58i||=10×89=890

||||1i1+i||||=|1i|||1+i||=22=1

D

La représentation géométrique

Affixe

Soit un repère orthonormal direct du plan (O;u;v). À tout point M de coordonnées (x;y), on associe le nombre complexe z=x+iy :

  • Le nombre complexe z est appelé affixe du point M (et du vecteur OM ).
  • Le point M est appelé image du nombre complexe z.

On définit ainsi le plan complexe.

-

Les points M et M', images respectives des nombres complexes z et z dans le plan complexe, sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses.

-

Le module |z| du nombre complexe z, affixe du point M, est égal à la distance OM.

-

Soit u un vecteur du plan de coordonnées (a;b). Alors le nombre complexe z=a+ib est appelé affixe du vecteur u, et noté zu.

  • Si A et B sont des points du plan complexe d'affixes zA et zB, alors zAB=zBzA.
  • Si u et v sont des vecteurs d'affixes zu et zv, le vecteur u+v a pour affixe zu+zv.
  • Si u est un vecteur d'affixe zu et k est un réel, alors le vecteur ku a pour affixe kzu.
II

Les équations dans

A

Résoudre une équation dans

On résout une équation dans à l'aide des mêmes techniques de calcul que dans .
B

Les équations du second degré dans

Racines complexes

Soit un trinôme du second degré à coefficients réels (a0) az2+bz+c, de discriminant Δ<0. Ce trinôme admet deux racines complexes conjuguées :

z1=biΔ2a

z2=b+iΔ2a

Résolvons dans l'équation suivante : 3z2+z+8=0.

Δ=124×3×8=95<0.

L'équation possède deux solutions complexes conjuguées :

  • z1=1i956
  • z2=1+i956

Si le trinôme du second degré a un discriminant Δ0, alors on retombe sur une équation du second degré classique.

III

Les formes trigonométrique et exponentielle

A

Forme trigonométrique

Argument

Soit z un nombre complexe non nul et M le point d'affixe z du plan complexe. On appelle argument de z, noté arg(z), une mesure en radians de l'angle orienté (u;OM) :

arg(z)=(u;OM)[2π]

-

Forme trigonométrique

Soit un nombre complexe z non nul d'argument θ. On peut alors exprimer z sous forme trigonométrique :

z=|z|(cos(θ)+isin(θ))

Réciproquement, si z=r(cos(θ)+isin(θ)), avec r>0 et θ réel quelconque, alors :

|z|=r

arg(z)=θ[2π]

Le nombre complexe z=3(cos(π3)+isin(π3)) est le nombre complexe de module 3 et dont un argument est π3.

Soit z=x+iy (où x et y sont des réels) un nombre complexe non nul. Soit z=r(cos(θ)+isin(θ)) une forme trigonométrique de z. Alors :

  • cos(θ)=Re(z)||z||=xx2+y2
  • sin(θ)=Im(z)||z||=yx2+y2

Nombres égaux

Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s'ils ont même module et même argument modulo 2π.

Soient z et z' deux nombres complexes non nuls.

arg(zz)=arg(z)+arg(z)[2π]

arg(1z)=arg(z)[2π]

arg(zz)=arg(z)arg(z)[2π]

Pour tout entier relatif n :

arg(zn)=narg(z)[2π]

arg((3+2i)(5i))=arg(3+2i)+arg(5i)[2π]

arg(186i39i)=arg(186i)arg(39i)[2π]

arg((4i+8)5)=5arg(4i+8)[2π]

Soit z un nombre complexe non nul :

  • z est réel arg(z)=0[2π] ou arg(z)=π[2π]
  • z est imaginaire pur arg(z)=π2[2π] ou arg(z)=π2[2π]

Autrement dit, si z est un nombre complexe non nul :

  • z est réel arg(z)=0[π]
  • z est imaginaire pur arg(z)=π2[π]
B

Forme exponentielle

Exponentielle complexe

Pour tout réel θ, on pose :

eiθ=cos(θ)+isin(θ)

eiπ6=cos(π6)+isin(π6)

Attention, une exponentielle complexe peut être négative.

eiπ=1

Forme exponentielle

Soit un nombre complexe z non nul d'argument θ. On peut alors exprimer z sous forme exponentielle :

z=|z|eiθ

Réciproquement, si z=reiθ, avec r>0 et θ réel quelconque, alors :

|z|=r

arg(z)=θ[2π]

Le nombre complexe z=5eiπ4 est le nombre complexe de module 5 et dont un des arguments est π4.

Soient θ et θ deux réels. On a :

eiθ=eiθ

ei(θ+θ)=eiθeiθ

1eiθ=eiθ

Pour tout entier relatif n :

(eiθ)n=einθ

eiπ3=eiπ3

eiπ4×eiπ3=ei(π4+π3)=ei7π12

C

Interprétation géométrique

Distance

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB :

AB=|zBzA|

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA=1+2i et zB=5+i.

AB=||zBzA||=||5+i12i||=|4i|=17

Angle

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA et zB :

(u;AB)=arg(zBzA)[2π]

Soient A et B deux points d'affixes respectives zA=4+2i et zB=5+i.

(u;AB)=arg(zBzA)[2π]=arg(5+i42i)[2π]=arg(1i)[2π]=π4[2π]

Argument d'un quotient

Soient v1 et v2 deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z1 et z2 :

(v1;v2)=arg(z2z1)[2π]

Argument d'un quotient (2)

Soient A, B et C trois points distincts d'affixes respectives zA, zB et zC (avec zAzB ) :

(AB;AC)=arg(zCzAzBzA)[2π]

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