Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer un ensemble de points géométriquement

Méthode 1

Avec une équation de la forme ||zzA||=k

L'ensemble des points M d'affixe z tels que ||z+a+ib||=k,avec k et a et b deux réels, est le cercle de centre A d'affixe zA=aib et de rayon k.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

||z2+i||=5

Etape 1

Poser le point nécessaire

On pose le point A d'affixe zA afin de se ramener à une équation de la forme ||zzA||=k.

On pose le point A d'affixe zA=2i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

||z2+i||=5||zzA||=5

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

||zzA||=AM

On en déduit que :

||zzA||=kAM=k

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

z, ||zzA||=5AM=5

Etape 3

Conclure

L'ensemble des points M est donc l'ensemble des points situés à une distance k du point M.

On en conclut que l'ensemble des points M est le cercle de centre A(zA) et de rayon k.

Ainsi, l'ensemble des points M est le cercle de centre A d'affixe zA=2i et de rayon 5.

Méthode 2

Avec une équation de la forme ||zzA||=||zzB||

L'ensemble des points M d'affixe z tels que ||z+a+ib||=||z+c+id||, tels que a, b, c et d soient des réels, est la médiatrice de [AB] avec A le point d'affixe zA=aib et B le point d'affixe zB=cid.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

||z+32i||=||z4i||

Etape 1

Poser les points nécessaires

On pose les points A d'affixe zA=aib et B d'affixe zB=cid afin de se ramener à une équation de la forme ||zzA||=||zzB||.

On pose les points A d'affixe zA=3+2i et B d'affixe zB=4i.

On en déduit que pour tout nombre complexe z :

||z+32i||=||z4i||||zzA||=||zzB||

Etape 2

Donner la condition en termes de distance

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

  • ||zzA||=AM
  • ||zzB||=BM

On en déduit que ||zzA||=||zzB||AM=BM.

En exprimant la condition en termes de distance, on obtient :

z, ||zzA||=||zzB||AM=BM

Etape 3

Conclure

Par conséquent, il s'agit des points M situés à égale distance des points A et B.

On en conclut que l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixes zA et zB.

Ainsi, l'ensemble des points M d'affixe z est la médiatrice de [AB] avec A et B les points d'affixe zA=3+2i et zB=4i.

Méthode 3

Avec un ensemble de points défini par un argument

L'ensemble des points M d'affixe z tels que arg(zzAzCzB)=α+k2π, avec α la mesure d'un angle et les points A, B et C les points d'affixes zA, zB et zC, est la droite privée de A telle que (BC;AM)=α+2kπ, k.

On considère le point B d'affixe zB=1+i.

Déterminer géométriquement l'ensemble des points M d'affixe z tels que :

arg(z24izB24i)=π4+2kπ, k

Etape 1

Créer le ou les point(s) nécessaire(s)

On crée si nécessaire les points A, B et C d'affixe zA, zB et zC afin de se ramener à une condition de la forme arg(zzAzCzB)=α+k2π.

On pose le point A d'affixe zA=2+4i.

On en déduit que :

arg(z24izB24i)=π4+2kπarg(zzAzBzA)=π4+2kπ

Etape 2

Donner la condition en termes d'angle

Comme le point M a pour affixe z, d'après le cours, on sait que :

arg(zzAzCzB)=(BC;AM)

On en déduit que arg(zzAzCzB)=α+k2π(BC;AM)=α+k2π

En exprimant la condition en termes d'angle, on obtient :

arg(zzAzBzA)=π4(AB;AM)=π4

Etape 3

Conclure

On en conclut que l'ensemble des points M est la droite (AM) privée de A formant un angle de mesure α avec la droite (BC).

On conclut que l'ensemble des points M est la droite (AM) privée de A formant un angle de mesure π4 avec la droite (AB).

  • Si le complexe Z doit être un réel, cela implique que arg(Z)=0+kπ et donc des points alignés ou des droites parallèles.
  • Si le complexe Z doit être un imaginaire pur, cela implique que arg(Z)=π2+kπ et donc des droites perpendiculaires.
pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.