Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Montrer qu'une suite est arithmétique

Pour déterminer l'écriture explicite d'une suite, on demande souvent de montrer qu'une suite est arithmétique, puis de déterminer son premier terme et sa raison.

On considère la suite (vn) définie par v0=1, v1=12 et, pour tout entier naturel n, par :

vn+2=vn+114vn

On considère alors (un) la suite définie pour tout entier naturel n :

un=vnvn+112vn

On admet que, pour tout entier naturel n, vn+112vn0. On veut montrer que la suite (un) est arithmétique et déterminer sa raison.

Etape 1

Calculer un+1un

Pour tout entier naturel n, on calcule et réduit la différence un+1un.

Soit n un entier naturel. Comme, pour tout entier naturel, vn+112vn0, on obtient :

un+1un=vn+1vn+212vn+1vnvn+112vn

un+1un=vn+1vn+114vn12vn+1vnvn+112vn

un+1un=vn+112vn+114vnvnvn+112vn

un+1un=vn+112(vn+112vn)vnvn+112vn

un+1un=2vn+1vn+112vnvnvn+112vn

un+1un=2vn+1vnvn+112vn

un+1un=2(vn+112vn)vn+112vn=2

Etape 2

Identifier l'éventuelle raison de la suite

On regarde, si, pour tout entier naturel n, un+1un est égal à une constante r (un réel fixe, c'est-à-dire indépendant de la variable n).

En posant r=2, on a bien, pour tout entier naturel n :

un+1un=r

Etape 3

Conclure sur la nature de la suite

Si, pour tout entier naturel n, un+1un est égal à une constante r, on peut conclure que la suite est arithmétique de raison r. On précise alors son premier terme.

On peut donc conclure que la suite (un) est une suite arithmétique de raison 2. Son premier terme vaut :

u0=v0v112v0=112+12=1

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.