Terminale S 2015-2016

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Approcher une loi binomiale par une loi normale

Si certaines conditions sont vérifiées, on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale. Ceci peut servir pour obtenir une approximation d'une probabilité de la forme \(\displaystyle{p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)}\). En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite.

X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=400}\) et \(\displaystyle{p=0,2}\). Appliquer le théorème de Moivre-Laplace pour donner une approximation de \(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)}\).

Etape 1

Vérifier que les conditions sont respectées

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)

Dans ce cas, on pourra appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

X suit une loi binomiale de paramètres \(\displaystyle{n=400}\) et \(\displaystyle{p=0,2}\). On a donc :

  • \(\displaystyle{n\geqslant 30}\)
  • \(\displaystyle{np=400\times 0,2=80}\) donc \(\displaystyle{np\geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left( 1-p \right)=400\times0,8=320}\) donc \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant 5}\)

On peut donc appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{E\left(X\right)}\) et \(\displaystyle{\sigma\left(X\right)}\)

X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On a donc :

  • \(\displaystyle{E\left(X\right)=np}\)
  • \(\displaystyle{\sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}}\)

On a :

  • \(\displaystyle{E\left(X\right)=np=400\times0,2=80}\)
  • \(\displaystyle{\sigma\left( X \right)=\sqrt{np\left(1-p\right)}=\sqrt{400\times0,2\times0,8}=\sqrt{64}=8}\)
Etape 3

Appliquer le théorème de Moivre-Laplace

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, \(\displaystyle{a\lt b}\), on a \(\displaystyle{p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right)}\) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

\(\displaystyle{p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)=p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)}\)

On a donc :

\(\displaystyle{p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)\approx p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)}\)

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, \(\displaystyle{a\lt b}\), on a \(\displaystyle{p\left( a \leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( x \right)} \leqslant b \right)\approx p\left( a \leqslant Z \leqslant b \right)}\) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

\(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant \dfrac{X-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)} \leqslant \dfrac{350-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)}\)

\(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(\dfrac{90-80}{8}\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant \dfrac{350-80}{8}\right)}\)

\(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)=p\left(1,25\leqslant \dfrac{X-80}{8} \leqslant 33,75\right)}\)

On peut donc en déduire :

\(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx p\left(1,25\leqslant Z \leqslant 33,75\right)}\)

Etape 4

Calculer la probabilité

À l'aide de la calculatrice, on donne la valeur de \(\displaystyle{p\left(\dfrac{c-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\leqslant Z\leqslant \dfrac{d-E\left( X \right)}{\sigma\left( X \right)}\right)}\).

On obtient donc une approximation de \(\displaystyle{p\left(c\leqslant X \leqslant d\right)}\).

La calculatrice nous donne le résultat suivant :

\(\displaystyle{p\left(1,25\leqslant Z \leqslant 33,75\right)\approx 0,11}\)

On peut donc conclure :

\(\displaystyle{p\left(90\leqslant X \leqslant 350\right)\approx 0,11}\)