Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique

On dispose d'une population dans laquelle la fréquence d'apparition d'un caractère c est p. On prélève dans cette population un échantillon de taille n (la population est de taille suffisante pour considérer que les tirages sont indépendants). Le nombre de personnes de l'échantillon présentant le caractère c suit donc une loi binomiale de paramètres n et p.

D'après le théorème de Moivre-Laplace, on peut alors donner un intervalle de fluctuation asymptotique de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n.

Une proportion p=46 % de la population d'un pays vote lors d'une élection pour le candidat A. Déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A sur un échantillon de 100 habitants.

Etape 1

Vérifier que les conditions sont vérifiées

On identifie n la taille de l'échantillon, et p la fréquence du caractère dans la population, puis on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n30
  • np5
  • n(1p)5

On a ici n=100 et p=0,46. On a ainsi :

  • n30
  • np=46, donc np5
  • n(1p)=100×0,54=54, donc n(1p)5
Etape 2

Donner l'intervalle de fluctuation

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique à 95% de la fréquence d'apparition du caractère dans l'échantillon de taille n est :

I=p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n

Plus généralement, si l'on cherche l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de (1α) %, on détermine grâce à la calculatrice la valeur μα vérifiant p(μαZμα)=1α, où Z suit une loi normale centrée réduite. L'intervalle I cherché est alors :

I=pμαp(1p)n;p+μαp(1p)n

D'après le cours, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% de la fréquence de vote pour le candidat A est :

I=p1,96p(1p)n;p+1,96p(1p)n

I=0,461,960,46(10,46)100;0,46+1,960,46(10,46)100

On obtient :

I=[0,362;0,558]

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