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Effectuer une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n 

Afin d'effectuer une division euclidienne quand le dividende et le diviseur sont exprimés en fonction de n, on recherche une mise en facteur du diviseur dans le dividende puis on discute de la valeur du quotient et du reste en fonction de n.

Soit \(\displaystyle{n\in \mathbb{N}}\). Effectuer la division euclidienne de \(\displaystyle{n^2+3n+6}\) par \(\displaystyle{n+2}\).

Etape 1

Rechercher une mise en facteur du diviseur dans le dividende

On peut effectuer cette recherche par étapes, en commençant par le terme de plus haut degré, comme si l'on "posait" la division.

Pour tout \(\displaystyle{n\in\mathbb{N}}\) :

\(\displaystyle{n^2+3n+6 = n\left(n+2\right)+n+6}\)

Puis :

\(\displaystyle{n+6=1\times\left(n+2\right)+4}\)

Ainsi :

\(\displaystyle{n^2+3n+6 = n\left(n+2\right)+1\times\left(n+2\right)+4}\)

\(\displaystyle{n^2+3n+6 = \left(n+2\right)\left(n+1\right)+4}\)

Cela revient à "poser" la division :

-
Etape 2

Déterminer les valeurs possibles du reste en fonction de n

D'après le cours, on sait que :

Une division euclidienne est de la forme \(\displaystyle{a= bq+r}\), avec a, b et q des entiers relatifs et r un entier naturel tel que \(\displaystyle{0 \leq r \lt \left| b \right|}\).

Deux cas sont possibles :

  • Si le reste s'exprime en fonction de n, il faut donc déterminer ses valeurs possibles qui respectent la condition \(\displaystyle{0 \leq r \lt \left| b \right|}\).
  • Si le reste est une constante, il faut donc déterminer quelles sont les valeurs de n pour lesquelles \(\displaystyle{0 \leq r \lt \left| b \right|}\).

Comme le diviseur est positif, le reste doit être strictement inférieur au diviseur.

Donc :

\(\displaystyle{4 \lt n+2}\)

Soit :

\(\displaystyle{n \gt 2}\)

Etape 3

Conclure

On conclut en donnant les valeurs du dividende, du diviseur, du quotient et du reste.

On conclut que :

Pour tout entier naturel n supérieur à 2, le quotient et le reste de la division euclidienne de \(\displaystyle{n^2+3n+6}\) par \(\displaystyle{n+2}\) sont respectivement \(\displaystyle{n+1}\) et 4.

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