Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer une équation cartésienne de plan

Méthode 1

En utilisant la formule du cours

On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan.

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(2;1;1) et admettant pour vecteur normal le vecteur n131.

Etape 1

Déterminer un point et un vecteur normal du plan

On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté n :

  • Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal n.
  • Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite (d) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de (d) comme vecteur normal n.

L'énoncé fournit directement :

  • Un point A de P : A(2;1;1)
  • Un vecteur normal à P : n131
Etape 2

Déterminer a, b et c

Si nabc est normal à P, P admet une équation cartésienne de la forme ax+by+cz+d=0d est un réel à déterminer.

Le vecteur n131 est normal à P, donc P admet une équation cartésienne de la forme x+3yz+d=0.

Etape 3

Déterminer d en utilisant les coordonnées du point

On utilise les coordonnées du point A pour déterminer d. Comme A est un point du plan, d est obtenu en résolvant l'équation suivante d'inconnue d :

axA+byA+czA+d=0

Le point A(2;1;1) est un élément du plan, donc ses coordonnées vérifient l'équation de P. On a donc :

2+3×11+d=0

Soit finalement :

d=4

Etape 4

Conclure

On peut donc conclure que ax+by+cz+d=0 est une équation cartésienne du plan P.

Une équation cartésienne de P est donc x+3yz4=0.

Méthode 2

En redémontrant la formule

On peut déterminer une équation cartésienne d'un plan P à partir d'un point du plan et d'un vecteur normal au plan en réutilisant la démarche de la démonstration vue en cours.

Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par le point A(2;1;1) et admettant pour vecteur normal le vecteur n131.

Etape 1

Déterminer un point et un vecteur normal du plan

On détermine les coordonnées d'un point A du plan et d'un vecteur normal au plan noté n :

  • Soit l'énoncé donne directement le point A et un vecteur normal n.
  • Soit l'énoncé donne le point A et précise que le plan doit être perpendiculaire à une droite (d) dont la représentation paramétrique est donnée. Dans ce cas, on choisit un vecteur directeur de (d) comme vecteur normal n.

L'énoncé nous fournit directement :

  • Un point A de P : A(2;1;1)
  • Un vecteur normal à P : n131
Etape 2

Écrire la condition d'appartenance d'un point M au plan P

Un point M(x;y;z) est un élément de P si et seulement si les vecteurs AM et n sont orthogonaux, donc si et seulement si AMn=0.

Un point M(x;y;z) est un élément de P si et seulement si les vecteurs AM et n sont orthogonaux, donc si et seulement si AMn=0.

Etape 3

Déterminer les coordonnées des vecteurs n et AM

Les coordonnées du vecteur n sont notées abc. Elles sont données par l'énoncé.

En notant respectivement A(xAyAzA) et M(xyz), on obtient :

AMxxAyyAzzA

D'après l'énoncé, on a n131 et A(211).

En notant M(xyz), on obtient :

AMx2y1z1

Etape 4

Expliciter et simplifier la condition d'appartenance du point M au plan P

On peut donc maintenant expliciter et simplifier la condition d'appartenance trouvée en étape 2. Cette dernière devient :

a(xxA)+b(yyA)+c(zzA)=0

Soit finalement :

ax+by+czaxAbyAczA=0

On a donc :

AMn=0(x2)+3(y1)(z1)=0

x+3yz23+1=0

x+3yz4=0

Etape 5

Conclure

On peut donc finalement conclure qu'une équation cartésienne du plan P est l'équation suivante :

ax+by+czaxAbyAczA=0

Une équation cartésienne du plan P est donc l'équation suivante :

x+3yz4=0

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