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Déterminer une représentation paramétrique de droite dans l'espace

Méthode 1

Si aucune représentation n'est donnée dans l'énoncé

Une droite de l'espace est définie par une représentation paramétrique qui donne les coordonnées d'un point appartenant à la droite en fonction d'un paramètre t.

Si l'énoncé demande de déterminer l'équation paramétrique d'une droite passant par deux points A et B dont les coordonnées sont données, on peut appliquer la méthode suivante.

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\)A et B sont les points de coordonnées \(\displaystyle{A\left(1;0;2\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(4;-1;-3\right)}\).

Etape 1

Déterminer un point et un vecteur directeur de la droite

On détermine deux informations nécessaires à la représentation paramétrique de la droite :

  • Les coordonnées d'un point A de la droite qui sont fournies par l'énoncé.
  • Les coordonnées d'un vecteur directeur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) de la droite : pour cela, on détermine les coordonnées du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}}\)A et B sont les deux points donnés par l'énoncé.

On sait que :

  • La droite passe par le point \(\displaystyle{A\left(1;0;2\right)}\).
  • La droite a pour vecteur directeur le vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 4-1 \cr\cr -1-0 \cr\cr -3-2 \end{pmatrix}}\) soit \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr -5 \end{pmatrix}}\).
Etape 2

Écrire une représentation paramétrique

Si les coordonnées du point A et du vecteur \(\displaystyle{\overrightarrow{v}}\) sont respectivement \(\displaystyle{A\left(x_A,y_A,z_A\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{v}\begin{pmatrix} a \cr\cr b \cr\cr c \end{pmatrix}}\), alors une représentation paramétrique de la droite est :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=x_A+at \cr \cr y=y_A+bt\text{ ,}t\in \mathbb{R}\cr \cr z=z_A+ct \end{cases}}\)

On a \(\displaystyle{A\left(1;0;2\right)}\) et \(\displaystyle{\overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \cr\cr -1 \cr\cr -5 \end{pmatrix}}\).

Une représentation paramétrique de \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) est donc :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=1+3t \cr \cr y=-t \cr \cr z=2-5t \end{cases}}\), \(\displaystyle{t\in \mathbb{R}}\)

Méthode 2

Si une représentation est donnée dans l'énoncé

Une droite de l'espace est définie par une représentation paramétrique qui donne les coordonnées d'un point appartenant à la droite en fonction d'un paramètre t.

Si l'énoncé nous demande de montrer qu'une équation paramétrique donnée est bien celle d'une droite passant par deux points A et B dont les coordonnées sont données, on peut appliquer la méthode suivante.

Soient A et B les points de coordonnées \(\displaystyle{A\left(1;1;-4\right)}\) et \(\displaystyle{B\left(4;-2;5\right)}\).

Montrer que la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) admet pour représentation paramétrique le système suivant :

\(\displaystyle{\begin{cases} x=3+t \cr \cr y=-1-t\text{ ,}t\in \mathbb{R} \cr \cr z=2+3t \end{cases}}\)

Etape 1

Montrer que les coordonnées de A et B vérifient la représentation paramétrique

On montre premièrement que les coordonnées des points A et B vérifient bien la représentation paramétrique donnée en remplaçant x, y et z par les coordonnées de chaque point et en vérifiant que pour chaque point, il existe bien un même t vérifiant les trois équations.

On remplace x, y et z par les coordonnées de A. On a :

\(\displaystyle{\begin{cases} 1=3+t \cr \cr 1=-1-t\cr \cr -4=2+3t \end{cases}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\begin{cases} t=-2 \cr \cr t=-2\cr \cr t=-2 \end{cases}}\)

Il existe bien une même valeur de t vérifiant les trois équations donc le point A vérifie bien la représentation paramétrique.

De même, on remplace x, y et z par les coordonnées de B. On a :

\(\displaystyle{\begin{cases} 4=3+t \cr \cr -2=-1-t\cr \cr 5=2+3t \end{cases}}\)

Soit :

\(\displaystyle{\begin{cases} t=1 \cr \cr t=1\cr \cr t=1 \end{cases}}\)

Il existe bien une même valeur de t vérifiant les trois équations donc le point B vérifie bien la représentation paramétrique.

Etape 2

Conclure

Comme il n'existe qu'une seule droite passant par deux points donnés distincts, on peut conclure que la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) admet bien pour représentation paramétrique la représentation donnée par l'énoncé.

Comme il n'existe qu'une seule droite passant par deux points donnés distincts, on peut conclure que la droite \(\displaystyle{\left(AB\right)}\) admet bien pour représentation paramétrique la représentation donnée par l'énoncé.

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