Terminale S 2015-2016

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Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \(\displaystyle{\left(x;y\right)}\) solutions de l'équation :

\(\displaystyle{\left(E\right) : 41x - 27y = 1}\)

On sait que le couple \(\displaystyle{\left(2 ; 3\right)}\) est solution de l'équation.

1

Démontrer que si le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right)}\)est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\), alors on a : \(\displaystyle{41\left(x-2 \right) = 27\left(y-3\right)}\).

2

En déduire que si le couple \(\displaystyle{\left(x ; y\right) }\) est solution de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) alors il existe un entier k tel que :

\(\displaystyle{x = 2 +27 k}\) et \(\displaystyle{ y=3+41k}\).

3

Quel est l'ensemble des couples solutions de \(\displaystyle{\left(E\right)}\) ?

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