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Montrer l'égalité de deux PGCD

Il est possible de démontrer l'égalité de deux PGCD en utilisant les propriétés des PGCD.

Soient a et b deux entiers naturels. Démontrer que \(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)}\).

Etape 1

Simplifier l'expression du PGCD à l'aide de combinaisons linéaires

D'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{PGCD\left(a;b\right) = PGCD \left(a; k\times a + k' \times b\right)}\), avec k et k' des entiers relatifs.

On utilise cette propriété afin de simplifier l'expression du PGCD.

\(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; 3a+4b - 3\left(a+b\right)\right)}\)

\(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b ; b\right)}\)

\(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a+b-b ; b\right)}\)

\(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)}\)

Etape 2

Conclure

On conclut en donnant l'égalité recherchée.

On conclut que l'on a bien :

\(\displaystyle{PGCD \left(a+b ; 3a+4b\right) = PGCD \left(a;b\right)}\)

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