Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer la limite d'une fonction lorsque x tend vers une valeur interdite

Soit f une fonction définie comme un quotient dont le dénominateur s'annule en a. On cherche à déterminer la limite à droite ou à gauche de f en a.

Soit f la fonction définie sur {1} par :

x{1}, f(x)=x2+2(x1)3

Déterminer limx1f(x).

Etape 1

Identifier si la limite est calculée à gauche ou à droite

On identifie si l'on recherche :

  • La limite à droite en a (x tend alors vers a par valeurs supérieures). On note limxa+f(x).
  • La limite à gauche en a (x tend alors vers a par valeurs inférieures). On note limxaf(x).

Cela va avoir un impact sur le signe du dénominateur.

On cherche ici à déterminer la limite à gauche en 1 (lorsque x tend vers 1 par valeurs inférieures) de f.

Etape 2

Donner le signe du dénominateur

Lorsque l'on fait tendre x vers a, le dénominateur tend vers 0. On détermine alors si le dénominateur approche 0 par valeurs négatives ou par valeurs positives quand x tend vers a.

Afin d'effectuer une vérification, on peut s'aider d'un exemple pour déterminer le signe du dénominateur. On choisit une valeur proche de a, supérieure ou inférieure selon le cas considéré. On calcule le dénominateur pour cette valeur, et on détermine son signe.

Ici, on cherche :

limx1(x1)

On choisit une valeur proche de 1 mais qui lui est inférieure : par exemple 0,9. On calcule alors :

0,91=0,1<0

On a bien :

limx1(x1)=0

On sait que :

limx1(x1)=0

Comme (x1) et (x1)3 ont même signe, alors on a également :

limx1(x1)3=0

Etape 3

Calculer la limite du numérateur

On détermine la limite du numérateur grâce aux méthodes usuelles.

On a :

limx1x2=1

Donc, par somme :

limx1(x2+2)=3

Etape 4

Conclure

On conclut sur la limite de la fonction.

Cas 1

Si le dénominateur tend vers 0 en restant positif

  • Si le numérateur tend vers + ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers +.
  • Si le numérateur tend vers ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers .
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.
Cas 2

Si le dénominateur tend vers 0 en restant négatif

  • Si le numérateur tend vers + ou vers un réel strictement positif, le quotient tend vers .
  • Si le numérateur tend vers ou vers un réel strictement négatif, le quotient tend vers +.
  • Si le numérateur tend vers 0, la forme est indéterminée, il faut se rapporter aux méthodes pour lever une indétermination.

Ici :

  • Le numérateur tend vers un réel strictement positif.
  • Le dénominateur vers 0 en restant négatif.

On peut en déduire que le quotient tend vers . On a donc :

limx1f(x)=

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