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Déterminer le conjugué d'un nombre complexe

Le conjugué d'un nombre complexe \(\displaystyle{z =a+ib}\) est \(\displaystyle{\overline{z} = a-ib}\).

Déterminer le conjugué du nombre complexe suivant :

\(\displaystyle{z = \left(3+i\right)^2}\)

Etape 1

Séparer partie réelle et partie imaginaire

Si cela n'est pas déjà fait, on simplifie l'écriture du nombre complexe z afin d'obtenir sa forme algébrique \(\displaystyle{z =a+ib}\).

On peut ainsi facilement isoler la partie réelle et la partie imaginaire de z, on obtient :

  • \(\displaystyle{Re\left(z\right) = a}\), avec \(\displaystyle{a\in\mathbb{R}}\)
  • \(\displaystyle{Im\left(z\right) = b}\), avec \(\displaystyle{b\in\mathbb{R}}\)

On développe l'expression de z afin de l'écrire sous sa forme algébrique :

\(\displaystyle{z=\left(3+i\right)^2}\)

\(\displaystyle{z=9+6i + i^2}\)

D'où :

\(\displaystyle{z=9+6i -1}\)

Finalement :

\(\displaystyle{z=8+6i }\)

Etape 2

Donner l'expression du conjugué

D'après le cours, on sait que :

\(\displaystyle{\overline{z } = \overline{a+ib} = a-ib}\)

On en déduit l'expression du conjugué de z.

On sait que :

\(\displaystyle{\overline{a+ib} = a-ib}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\overline{z} = 8-6i}\)

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