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Déterminer une longueur à l'aide des complexes

Grâce aux nombres complexes, on peut déterminer des angles et des longueurs et donc résoudre des problèmes géométriques.

Soient A et B, deux point d'affixes respectives \(\displaystyle{z_A = 1+i}\) et \(\displaystyle{z_B = 2-3i}\). Calculer AB.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que \(\displaystyle{AB = \left| z_B-z_A \right|}\).

On sait que :

\(\displaystyle{AB = \left| z_B-z_A \right|}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\left( z_B-z_A \right)}\)

On écrit \(\displaystyle{z_B -z_A}\) sous sa forme algébrique afin d'en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

\(\displaystyle{z_B-z_A = 2-3i-\left(1+i\right)}\)

\(\displaystyle{z_B-z_A = 2-3i-1-i}\)

Donc :

\(\displaystyle{z_B-z_A = 1-4i}\)

Etape 3

Déterminer \(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right|}\)

On calcule \(\displaystyle{\left| z_B-z_A \right|}\) en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

\(\displaystyle{\left| z_B -z_A \right| = \left| 1-4i \right|}\)

\(\displaystyle{\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{1^2+\left(-4\right)^2}}\)

\(\displaystyle{\left| z_B -z_A \right| = \sqrt{17}}\)

Etape 4

Conclure sur la longueur AB

On conclut en donnant la valeur de la longueur AB.

On obtient :

\(\displaystyle{AB = \sqrt{17}}\)

Le calcul de la longueur OA est un cas particulier du calcul de la longueur AB.

On a alors directement \(\displaystyle{OA=\left| z_A \right|}\).

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