Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Déterminer une longueur à l'aide des complexes

Grâce aux nombres complexes, on peut déterminer des angles et des longueurs et donc résoudre des problèmes géométriques.

Soient A et B, deux point d'affixes respectives zA=1+i et zB=23i. Calculer AB.

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que AB=||zBzA||.

On sait que :

AB=||zBzA||

Etape 2

Calculer (zBzA)

On écrit zBzA sous sa forme algébrique afin d'en déterminer sa partie réelle et sa partie imaginaire.

Or, on a :

zBzA=23i(1+i)

zBzA=23i1i

Donc :

zBzA=14i

Etape 3

Déterminer ||zBzA||

On calcule ||zBzA|| en utilisant la forme algébrique du complexe.

On en déduit que :

||zBzA||=|14i|

||zBzA||=12+(4)2

||zBzA||=17

Etape 4

Conclure sur la longueur AB

On conclut en donnant la valeur de la longueur AB.

On obtient :

AB=17

Le calcul de la longueur OA est un cas particulier du calcul de la longueur AB.

On a alors directement OA=||zA||.

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