Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Passer d'une forme à l'autre dans les complexes

Méthode 1

Passer de la forme algébrique aux formes trigonométrique et exponentielle

Afin de déterminer une forme exponentielle ou une forme trigonométrique d'un nombre complexe écrit sous sa forme algébrique z=a+ib, on doit calculer le module et un argument de z.

On considère le nombre complexe suivant :

z=1i

Ecrire z sous forme trigonométrique.

Etape 1

Identifier Re(z) et Im(z)

On écrit z sous sa forme algébrique z=a+ib. On identifie :

  • a=Re(z)
  • b=Im(z)

Ici, on a :

z=1i

On en déduit que :

  • Re(z)=1
  • Im(z)=1
Etape 2

Calculer le module de z

On a ||z||=a2+b2. On calcule et on simplifie le module.

On a donc :

||z||=12+(1)2

||z||=2

Etape 3

Déterminer un argument de z

Soit θ, un argument de z. On sait que :

  • cosθ=a||z||
  • sinθ=b||z||

On s'aide alors du cercle trigonométrique ainsi que des cos et sin des angles classiques pour déterminer une valeur de θ.

Soit θ, un argument de z.

On sait que :

  • cosθ=a||z||
  • sinθ=b||z||

Donc, ici :

  • cosθ=12=22
  • sinθ=12=22

À l'aide du cercle trigonométriques et des valeurs de cos et sin des angles classiques, on obtient :

θ=π4+2kπ, k

Etape 4

Donner la forme voulue de z

  • Une forme trigonométrique de z est z=||z||(cosθ+isinθ).
  • Une forme exponentielle de z est z=||z||eiθ.

On en déduit que :

z=2(cos(π4)+isin(π4))

Méthode 2

Passer d'une forme trigonométrique ou exponentielle à la forme algébrique

Si un nombre complexe écrit sous forme trigonométrique z=||z||(cosθ+isinθ) ou sous forme exponentielle z=||z||eiθ, on peut retrouver sa forme algébrique.

On considère le nombre complexe suivant :

z=2ei4π3

Déterminer la forme algébrique de z.

Etape 1

Identifier le module et un argument de z

Selon la forme donnée en énoncé, on a au choix :

  • z=||z||(cosθ+isinθ)
  • z=||z||eiθ

On identifie le module ||z|| de z et un argument θ de z.

Ici, on a

  • ||z||=2
  • θ=4π3+2kπ, k
Etape 2

Calculer a et b

On rappelle que :

  • a=||z||cosθ
  • b=||z||sinθ

On calcule cosθ et sinθ afin de déterminer a et b.

On sait que :

  • a=||z||cosθ
  • b=||z||sinθ

Donc, ici :

a=2cos(4π3)

a=2cos(π+π3)

a=2×(12)=1

Et :

b=2sin(4π3)

b=2sin(π+π3)

b=2×32=3

Etape 3

Conclure

On en conclut la forme algébrique de z qui est de la forme z=a+ib.

La forme algébrique de z est donc :

z=1i3

L'écriture des formes exponentielle et trigonométrique nécessite uniquement la connaissance du module et d'un argument de z. On peut donc très simplement passer de la forme exponentielle à la forme trigonométrique, et inversement.

Si une forme exponentielle de z est :

z=3eiπ3

Alors une forme trigonométrique de z est :

z=3(cos(π3)+isin(π3))

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