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Recherche des diviseurs d'un nombre grâce à sa décomposition en produit de nombres premiers

Afin de déterminer tous les diviseurs d'un entier n, on le décompose en produit de facteurs premiers.

Rechercher tous les diviseurs de 120.

Etape 1

Décomposer l'entier en produit de facteurs premiers

On décompose n en produit de facteurs premiers.

La décomposition de 120 en produit de facteurs premiers est :

\(\displaystyle{120 = 2^3\times 3 \times 5}\)

Etape 2

Lister tous les diviseurs

On liste tous les diviseurs de l'entier n. On pourra notamment s'aider d'un arbre.

Les diviseurs de 120 seront donc tous de la forme : \(\displaystyle{2^m \times 3^n \times 5 ^p}\) avec :

  • \(\displaystyle{m \in \left\{ 0 ; 1;2;3 \right\}}\), soit 4 choix pour m
  • \(\displaystyle{n \in \left\{ 0 ; 1 \right\}}\), soit 2 choix pour n
  • \(\displaystyle{p\in \left\{ 0 ; 1 \right\}}\), soit 2 choix pour p

Afin de dresser la liste complète des diviseurs de 120, on dresse l'arbre ci-dessous :

-
Etape 3

Conclure

On conclut en donnant l'ensemble des diviseurs de n.

On en conclut que l'ensemble des diviseurs de 120 est :

\(\displaystyle{\left\{ 1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60;120 \right\}}\)

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