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Montrer qu'une fonction F est une primitive d'une fonction f

Une fonction F est une primitive d'une autre fonction f si et seulement si la dérivée F' de la fonction F est égale à f.

Montrer que la fonction F définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{F\left(x\right) = \left(2x+5\right)e^{2x+3}}\) est une primitive de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(4x+12\right)e^{2x+3}}\).

Etape 1

Réciter le cours

On rappelle que F est une primitive sur I si et seulement si :

\(\displaystyle{\forall x \in I}\), \(\displaystyle{F'\left(x\right) = f\left(x\right)}\)

F est une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) si et seulement si, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{F'\left(x\right) =f\left(x\right)}\).

Etape 2

Dériver F

On justifie la dérivabilité de F sur l'intervalle I puis on dérive F sur ce même intervalle.

F est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que produit de fonctions dérivables sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

On remarque que \(\displaystyle{F= uv}\), avec, pour tout réel x :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right) = 2x+5}\)
  • \(\displaystyle{v\left(x\right) = e^{2x+3}}\)

Donc \(\displaystyle{F'= u'v+uv'}\), avec, pour tout réel x :

  • \(\displaystyle{u'\left(x\right) = 2}\)
  • \(\displaystyle{v'\left(x\right) = 2e^{2x+3}}\)

On en déduit que :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{F'\left(x\right) = 2\times e^{2x+3}+\left(2x+5\right)\times 2 e^{2x+3}}\)

Finalement :

\(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{F'\left(x\right) = \left(4x+12\right) e^{2x+3}}\)

Etape 3

Conclure

On conclut que F est une primitive de f sur I.

On a bien, \(\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R}}\), \(\displaystyle{F'\left(x\right) =f\left(x\right)}\).

Donc la fonction F est bien une primitive de f sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

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