Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Approcher une loi binomiale par une loi normale

Si certaines conditions sont vérifiées, on peut approcher une loi binomiale de paramètres n et p par une loi normale. Ceci peut servir pour obtenir une approximation d'une probabilité de la forme p(cXd). En particulier, on peut utiliser la loi normale centrée réduite.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0,2. Appliquer le théorème de Moivre-Laplace pour donner une approximation de p(90X350).

Etape 1

Vérifier que les conditions sont respectées

Si X suit une loi binomiale de paramètres n et p, on vérifie que les trois conditions suivantes sont remplies :

  • n30
  • np5
  • n(1p)5

Dans ce cas, on pourra appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0,2. On a donc :

  • n30
  • np=400×0,2=80 donc np5
  • n(1p)=400×0,8=320 donc n(1p)5

On peut donc appliquer le théorème de Moivre-Laplace.

Etape 2

Calculer E(X) et σ(X)

X suit une loi binomiale de paramètres n et p. On a donc :

  • E(X)=np
  • σ(X)=np(1p)

On a :

  • E(X)=np=400×0,2=80
  • σ(X)=np(1p)=400×0,2×0,8=64=8
Etape 3

Appliquer le théorème de Moivre-Laplace

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a<b, on a p(aXE(X)σ(x)b)p(aZb) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p(cXd)=p(cE(X)σ(X)XE(X)σ(X)dE(X)σ(X))

On a donc :

p(cXd)p(cE(X)σ(X)ZdE(X)σ(X))

D'après le théorème de Moivre-Laplace, pour tous réels a et b, a<b, on a p(aXE(X)σ(x)b)p(aZb) avec Z qui suit la loi normale centrée réduite.

Or, on a :

p(90X350)=p(90E(X)σ(X)XE(X)σ(X)350E(X)σ(X))

p(90X350)=p(90808X808350808)

p(90X350)=p(1,25X80833,75)

On peut donc en déduire :

p(90X350)p(1,25Z33,75)

Etape 4

Calculer la probabilité

À l'aide de la calculatrice, on donne la valeur de p(cE(X)σ(X)ZdE(X)σ(X)).

On obtient donc une approximation de p(cXd).

La calculatrice nous donne le résultat suivant :

p(1,25Z33,75)0,11

On peut donc conclure :

p(90X350)0,11

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