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Estimer une proportion à l'aide d'un intervalle de confiance

Lorsque l'on connaît la fréquence d'apparition f d'un caractère c dans un échantillon de taille n, on peut estimer la proportion p du caractère dans la population à l'aide d'un intervalle de confiance.

Dans un échantillon de 100 élèves interrogés après les résultats du baccalauréat, 82 déclarent avoir réussi l'examen. Donner un intervalle de confiance à 95% de la proportion des élèves ayant eu le baccalauréat cette année.

Etape 1

Montrer que les conditions sont vérifiées

Les trois conditions suivantes doivent être vérifiées :

  • \(\displaystyle{n\geqslant30}\)
  • \(\displaystyle{np\geqslant5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-p\right)\geqslant5}\)

Comme on ne connaît pas la valeur de p, on vérifie ces conditions en remplaçant p par f, la fréquence observée sur l'échantillon. On suppose alors que comme elles sont vérifiées pour f, elles le sont également pour p.

On a ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{f=\dfrac{82}{100}=0,82}\).

De plus :

  • \(\displaystyle{nf=82}\) donc \(\displaystyle{nf \geqslant 5}\)
  • \(\displaystyle{n\left(1-f\right)=100\times\left(1-0,82\right)=18}\) donc \(\displaystyle{nf\left(1-f\right)\geqslant5}\)

Les conditions étant vérifiées pour f, on peut supposer qu'elles le sont également pour p.

Etape 2

Donner l'intervalle de confiance

D'après le cours, l'intervalle de confiance à 95% du paramètre p est :

\(\displaystyle{IC=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)

D'après le cours, l'intervalle de confiance à 95% du paramètre p est :

\(\displaystyle{IC=\left[f-\dfrac{1}{\sqrt{n}} ; f+\dfrac{1}{\sqrt{n}} \right]}\)

Comme ici \(\displaystyle{n=100}\) et \(\displaystyle{f=0,82}\), on a :

\(\displaystyle{IC=\left[0,82-\dfrac{1}{\sqrt{100}} ; 0,82+\dfrac{1}{\sqrt{100}} \right]=\left[0,72;0,92\right]}\)

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