Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k

Afin de déterminer le nombre de solutions d'une équation du type f(x)=k sur I, on utilise le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires pour chaque intervalle de I sur lequel la fonction est strictement monotone.

Déterminer le nombre de solutions de l'équation x3+x2x+1=0 sur .

Etape 1

Se ramener à une équation du type f(x)=k

On détermine une fonction f telle que l'équation soit équivalente à une équation du type f(x)=k.

On pose :

x, f(x)=x3+x2x+1

On cherche à déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=0 sur .

Etape 2

Dresser le tableau de variations de f

On étudie les variations de f au préalable, si cela n'a pas été fait dans les questions précédentes. On dresse ensuite le tableau de variations de f sur I (limites et extremums locaux inclus).

f est dérivable sur en tant que fonction polynôme, et :

x, f(x)=3x2+2x1

On étudie le signe de f(x). On reconnaît un trinôme du second degré. Son discriminant est :

Δ=224×3×(1)

Donc :

Δ=16

Δ>0 donc le trinôme est du signe de a (>0) sauf entre les racines que l'on détermine :

  • x1=bΔ2a=2162×3=66=1
  • x2=b+Δ2a=2+162×3=26=13

Ainsi, on obtient le signe de la dérivée :

-

De plus, on a :

  • limx(x3+x2x+1)=limxx3(1+1x1x2+1x3)=
  • limx+(x3+x2x+1)=limx+x3(1+1x1x2+1x3)=+

Enfin :

  • f(1)=(1)3+(1)2(1)+1=2
  • f(13)=(13)3+(13)2(13)+1=127+1913+1=127+327927+2727=2227

On dresse le tableau de variations de f sur :

-
Etape 3

Déterminer le nombre de solutions de l'équation pour chaque intervalle

On identifie les intervalles IiI sur lesquels la fonction f est strictement monotone. Pour chaque intervalle Ii, on procède de la manière suivante :

  • On justifie que f est continue.
  • On justifie que f est strictement monotone.
  • On donne les limites ou les valeurs aux bornes de Ii. Soit Ji l'intervalle image de Ii par f, on détermine si kJi.

On en conclut :

  • Si kJi alors l'équation f(x)=k n'admet pas de solution sur Ii.
  • Si kJi alors d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=k admet une unique solution sur Ii.

On répète cette démarche pour chacun des intervalles Ii.

On identifie trois intervalles sur lesquels la fonction f est strictement monotone : ];1], [1;13] et [13;+[. On applique donc le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires trois fois.

Sur ];1] :

  • f est continue.
  • f est strictement croissante.
  • limxf(x)= et f(1)=2. Or 0];2].

D'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, l'équation f(x)=0 admet une unique solution sur ];1].

Sur [1;13] :

  • f est continue.
  • f est strictement décroissante.
  • f(1)=2 et f(13)=2227. Or 0[2227;2].

Donc l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur [1;13].

Sur [13;+[ :

  • f est continue.
  • f est strictement croissante.
  • f(13)=2227 et limx+f(x)=+. Or 0[227;+[.

Donc l'équation f(x)=0 n'admet pas de solution sur [13;+[.

Etape 4

Conclure

On conclut en donnant le nombre total de solutions sur I.

L'équation f(x)=0 admet donc une unique solution sur .

Dans le tableau de variations, en suivant les flèches, on peut dès le début déterminer le nombre de solutions de l'équation f(x)=k. Il ne reste ensuite qu'à rédiger la réponse de manière organisée.

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