Terminale S 2016-2017

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La dérivation

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I.
Pour tout réel h non nul tel que \(\displaystyle{\left(a+h\right)}\) appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \(\displaystyle{\left(a+h\right)}\) le quotient :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\)

En posant \(\displaystyle{x = a + h}\), le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}}\)

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. La fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers a dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) :

\(\displaystyle{\lim_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)}\)

On considère la fonction \(\displaystyle{f}\) définie pour tout réel \(\displaystyle{x}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2 + 1}\).

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1}\)

Or :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1}\left( x+1 \right) = 2}\), et \(\displaystyle{ 2\in\mathbb{R}}\).

On en déduit que la fonction \(\displaystyle{f}\) est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de \(\displaystyle{f}\) en 1 est \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est définie à gauche et à droite de \(\displaystyle{a}\), cette limite doit être identique des deux côtés de a. Dans le cas contraire (pour la fonction valeur absolue en 0 par exemple), la fonction n'est pas dérivable en \(\displaystyle{a}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est dérivable en \(\displaystyle{a}\), alors \(\displaystyle{f}\) est continue en \(\displaystyle{a}\).

La réciproque est fausse.

B

La tangente à une courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \(\displaystyle{\left(a ; f\left(a\right)\right)}\), de coefficient directeur \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\), dont une équation est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

Sachant que la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2+1}\) est dérivable en 1 et que \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\), on peut établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)}\)

Soit :

\(\displaystyle{y = 2\left(x-1\right) + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x - 2 + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x}\)

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 est la droite d'équation \(\displaystyle{y=2x}\).

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée \(\displaystyle{f'}\) qui, a tout réel x de I, associe \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\).

Si \(\displaystyle{f}\) est dérivable sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est continue sur \(\displaystyle{I}\).

Attention, la réciproque est fausse.

Dérivée seconde

Soit une fonction \(\displaystyle{f}\) dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).
Si \(\displaystyle{f'}\) est également dérivable sur \(\displaystyle{I}\), la dérivée de \(\displaystyle{f'}\) sur I, notée \(\displaystyle{f''}\), est appelée dérivée seconde de \(\displaystyle{f}\) ou dérivée d'ordre 2 de \(\displaystyle{f}\) sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel \(\displaystyle{n}\) ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de \(\displaystyle{f}\) et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x}\) \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)
C

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\), on désigne par \(\displaystyle{u}\) et \(\displaystyle{v}\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(\displaystyle{I}\).

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{-\dfrac{v'}{v^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)
D

Les dérivées de fonctions composées

Fonction composée

Soient une fonction \(\displaystyle{f}\) dérivable sur \(\displaystyle{I}\), \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) deux réels tels que pour tout x de I, \(\displaystyle{ax+b \in I}\).
La fonction \(\displaystyle{x \longmapsto f\left(ax+b\right)}\) est alors dérivable sur \(\displaystyle{I}\) et a pour dérivée la fonction :

\(\displaystyle{x\longmapsto af'\left(ax+b\right)}\)

Considérons la fonction \(\displaystyle{f}\) définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\left(2x+5\right)^2=g\left(2x+5\right)}\) avec \(\displaystyle{g\left(x\right)=x^2}\).

La fonction dérivée de \(\displaystyle{f}\) est :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=2\times g'\left(2x+5\right)=2\times 2\left(2x+5\right)=8x+20}\)

Soit u une fonction dérivable sur I.

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{u^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nu'u^{n-1}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{u}}\) (si \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) \(\displaystyle{{\color{Red}\gt}}\) \(\displaystyle{0}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)
III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation

Soit \(\displaystyle{f}\) une fonction dérivable sur un intervalle \(\displaystyle{I}\) :

  • Si \(\displaystyle{f'}\) est positive sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est croissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est négative sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est décroissante sur \(\displaystyle{I}\).
  • Si \(\displaystyle{f'}\) est nulle sur \(\displaystyle{I}\), alors \(\displaystyle{f}\) est constante sur \(\displaystyle{I}\).

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x-3}}\). On admet que f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

\(\displaystyle{f=\dfrac{1}{v}}\) avec, pour tout réel x, \(\displaystyle{v\left(x\right)=x^2-x+3}\). v est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x, \(\displaystyle{v'\left(x\right)=2x-1}\).

Ainsi :

\(\displaystyle{f'=\dfrac{-v'}{v^2}}\)

Soit, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=\dfrac{-2x+1}{\left(x^2-x-3\right)^2}}\)

Or :

  • Pour tout réel x, \(\displaystyle{\left(x^2-x+3\right)^2\gt0}\)
  • \(\displaystyle{-2x+1\gt0\Leftrightarrow x\lt\dfrac{1}{2}}\)

On obtient le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-

On en conclut que :

  • f est croissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty; \dfrac{1}{2}\right]}\).
  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left[ \dfrac{1}{2};+\infty\right[}\).

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors \(\displaystyle{f'\left(a\right)=0}\) et \(\displaystyle{f'}\) change de signe en a.
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) est un extremum local de f.

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors cet extremum est un minimum.

Si \(\displaystyle{f'}\) s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors cet extremum est un maximum.

On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac{1}{x^2-x-3}}\). On sait que f' s'annule en changeant de signe en \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\), avec \(\displaystyle{f'\left(x\right)\geqslant0\Leftrightarrow x\leqslant\dfrac{1}{2}}\) et \(\displaystyle{f'\left(x\right)\leqslant0\Leftrightarrow x\geqslant\dfrac{1}{2}}\).

Ainsi, f admet un maximum local en \(\displaystyle{\dfrac{1}{2}}\).

\(\displaystyle{f'}\) peut s'annuler en un réel \(\displaystyle{a}\) (en ne changeant pas de signe) sans que \(\displaystyle{f}\) admette un extremum local en \(\displaystyle{a}\). C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.