Terminale S 2016-2017

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La fonction exponentielle

La fonction exponentielle

La fonction exponentielle est la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=e^x}\).

Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

Soient deux réels \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{y}\), et un entier \(\displaystyle{n}\).

  • \(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)
  • \(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)
  • \(\displaystyle{e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}}\)
  • \(\displaystyle{e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^{y}}}\)
  • \(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{n} = e^{nx}}\)

Limites de la fonction exponentielle

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty } e^{x} = + \infty }\)

Limites : croissances comparées

\(\displaystyle{\lim_{x \to -\infty } x e^{x} = 0}\)

\(\displaystyle{\lim_{x \to +\infty }\dfrac{e^x}{x}= + \infty }\)

Limite : taux d'accroissement en 0

\(\displaystyle{\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x} - 1}{x}= 1}\)

Dérivées

Fonction Dérivée
\(\displaystyle{e^x}\) \(\displaystyle{e^x}\)
\(\displaystyle{e^{u}}\) \(\displaystyle{u'e^{u}}\)
Chapitre 5 La fonction exponentielle
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